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Travaux  Dirigés  N°9

Fonctions de plusieurs variables : Applications économiques

EL METHNI M.

 

 

EXERCICE I :

K et L désignent le facteur capital et le facteur travail évalués respectivement en monnaie nationale et en nombre d’emplois. La fonction de production selon le modèle de Cobb-Douglass est Q=aKαL1-α  (a et α sont des constantes, a>0 et 0<α<1)
1) Quel sont les domaines de définition mathématique et économique de Q ?
2) Décrire les courbes de niveau et tracer quelques une pour α=1/2 et a=1
3) Décrire les courbes coordonnées et tracer quelques une pour α=1/2 et a=1
4) En passant en coordonnées polaires étudier les fonctions partielles et tracer quelques une pour α=1/2 et a=1.
5) Quel est l’équivalent mathématique des concepts : « isoquante » et «courbes d’indifférence » ?
6) Calculer les dérivées partielles premières et secondes de Q.
7) Donner une valeur approchée de Q pour a=1, α=2/3, x=1003 et y=104.

 

 

PROBLEME II :

Un consommateur désire affecter une somme S à l’achat de x unités d’une marchandise m1 de prix unitaire p1 et à l’achat de y unités d’une marchandise m2 de prix unitaire p2. Soit u= f(x,y) sa fonction d’utilité.
1) Montrer que les quantités x0 et y0 qu’il achètera de façon à maximiser son utilité doivent vérifier les équations suivantes :

2)
  a) Les courbes f(x,y)=K (K=constante) sont appelées courbes d’indifférence de consommation. Expliquer.
  b) Montrer que la courbe d’indifférence de consommation qui passe par le point (x0,y0) est tangente à la droite de contrainte budgétaire : p1x+p2y=S.
Donner une interprétation économique simple.
3) Comment se déplace le point d’équilibre (x0,y0) lorsque S s’accroît ou diminue, les prix p1 et p2 restant constants (exprimer  en fonction de p1, p2, ainsi que des dérivées partielles de f)
4) Comment se déplace le point d’équilibre (x0,y0) lorsque p2 est fixé mais p1 varie, S restant constant (on exprimera  en fonction de p1, p2, ainsi que des dérivées partielles de f en (x0,y0))
5) Application :        u=xy
  a) p1=10 ; p2=20 ; S=200
  b) p1=10 ; p2=20 ; S= s (variable)
  c) p1=  π (variable); p2=20 ; S=200