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EXERCICE I :

Intégrer l’équation différentielle (E) : y’+ytan x=cos² x

 

EXERCICE II :

On considère l’équation différentielle (E) : (x²-1)y’+xy= x³-x
1) Chercher une solution polynôme de l’équation (E).
2) Montrer que c’est la seule qui peut être prolongée sur R.

 

EXERCICE III :

On considère l’équation différentielle (E) :  xy’-y+ y²-x²=0
1) Chercher les solutions polynômes de l’équation (E).
2) Soit ψ une telle solution polynôme de l’équation (E) (on prendra la plus simple). Montrer que le changement de variable y=ψ+1/z où z est une fonction de x transforme l’équation (E) en une équation linéaire (E’).

3) Intégrer l’équation linéaire (E’)
4) Etudier les intégrales (notamment au voisinage de zéro.

 

EXERCICE IV :

On considère l’équation différentielle (E) :  x(x²+1)y’+(2x²+3)y=f(x)
1) Montrer que les fonctions f(x) pour lesquelles l’équation (E) admet pour solution un polynôme p(x) à coefficients réels, constituent un espace vectoriel réel isomorphe à l’espace vectoriel R[X] des polynômes à coefficients réels.
2) Déterminer le degré d’un polynôme solution lorsque f(x) est un polynôme de degré 3.

 

EXERCICE V :

On désigne par E l’espace vectoriel sur R des fonctions réelles définies et de classe C^∞ sur R₊^*. Pour chaque nombre réel non nul a, on définit une application T_a de E dans lui-même, en posant pour chaque élément y de E T_a(y)=y+axy’
1) Montrer que pour tout nombre réel non nul a, l’application T_a est un endomorphisme de E et déterminer son noyau.
2) Soient a et b deux nombres réels non nuls. Déterminer le noyau de T_aοT_b. Ecrire l’équation différentielle du second ordre que vérifient les éléments de ce noyau.
3) Trouver tous les éléments de E qui sont solutions de chacune des équations différentielles suivantes :
  a) y+8xy’+4x²y’’=0
  b) y+2xy’+1_/2 x²y’’=0

 

EXERCICE VI :

On considère l’équation différentielle (E) : y’’+y’+y=0
1) Montrer que les fonctions f₁ et f₂ définies sur R par :  

sont solutions de (E).
2) Déterminer la solution f de (E) vérifiant les conditions initiales f(0)=0 et f’(0)=1. On la cherchera sous la forme λ₁f₁+λ₂f₂.

 

 

 

EXERCICE VII :

Intégrer les équations différentielles suivantes :
     a) y’’-5y’+6y=0
     b) 4y’’+4y’+y=0

     c) y’’+y’+y=0

 

EXERCICE VIII :

On désigne par E l’espace vectoriel sur R des fonctions réelles définies et de classe C^∞ sur R₊^*. Pour chaque nombre réel non nul a, on définit une application T_a de E dans lui-même, en posant pour chaque élément y de E T_a(y)=y+axy’
1) Montrer que pour tout nombre réel non nul a, l’application T_a est un endomorphisme de E et déterminer son noyau.
2) Soient a et b deux nombres réels non nuls. Déterminer le noyau de T_aοT_b. Ecrire l’équation différentielle du second ordre que vérifient les éléments de ce noyau.
3) Trouver tous les éléments de E qui sont solutions de chacune des équations différentielles suivantes :
  a) y+8xy’+4x²y’’=0
  b) y+2xy’+1_/2 x²y’’=0

 

 

 

 

EXERCICE I :

Vérifier que y=x est une solution particulière de l’équation différentielle (E) : (1+x²)y’-xy=1
Donner la solution générale de (E).

 

EXERCICE II :

Intégrer l’équation différentielle (E) : y’cos x+ysin x=x

 

EXERCICE III :

1) Donner la solution générale de l’équation différentielle (E) : xy’-(1+x)y+e^x(1+x²)=0
2) Montrer qu’il existe des fonctions définies et continues sur R qui sont solutions de l’équation (E) pour x≠0.

 

EXERCICE IV :

Résoudre les équations différentielles suivantes :
       a) y’=3y+(3x²+1)e^2x
       b) xy’-2y=(x-1)(x+1)³