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EXERCICE I :                                                                                                               

Montrer que la boîte de carton rectangulaire (parallélépipède rectangle), sans couvercle et d’un volume donné, qui peut être fabriquée en utilisant le moins de matériaux possible, est celle dont la base est carrée et dont la hauteur est égale à la moitié de la longueur d’un côté de la base.

 

EXERCICE II :                                                                                                             

Décomposer un nombre positif a en somme de trois nombres de telle manière que le produit de ces trois nombres soit maximal.

 

PROBLEME :

Partie I.

Soient x₁, x₂,..., x_n  des nombres réels.

1) Prouver l’inégalité :
2) Montrer que l’on a  si et seulement si x₁=x₂=...=x_n.
(Développer  où λR)

Partie II.

Soient (x₁,y₁), (x₂,y₂),..., (x_n,y_n) des point de R² tels que les x_i ne soient pas tous égaux.
On considère la fonction à deux variables réelles définie par :  

1) Que représente f(a,b) ? (faire un dessin)
2) Montrer que la fonction f a un seul point critique (a₀,b₀) que l’on calculera.
3) Montrer que ce point critique est un minimum local pour f.
4) Montrer que f(a,b) → +∞ lorsque |a|+|b| → +∞
Indication : Soient (x₁,y₁), (x₂,y₂) tels que x₁≠x₂ et d_i=ax_i+b-y_i. Montrer que a=λd₁+μd₂+α et b=λ’d₁+μ’d₂+α’ et en déduire que |a|+|b| ≤ c₁(|d₁|+|d₂|)+c₂
5) En déduire que (a₀,b₀) est un minimum absolu de f.
6) Enoncer le résultat que l’on vient d’obtenir.

 

Partie III : Application numérique

xi	72	65	80	84	74	68	82	68	76	71
yi	76	63	84	87	79	69	81	71	73	77