Précédent / Suivant / Table des matières

 

 

 

EXERCICE I :

On considère la fonction  et on pose x=x(t)=cos t et y=y(t)=t². Calculer de deux manières la dérivée de la fonction F(t)=f(x(t), y(t))

EXERCICE II :

M₀(x₀,y₀) est un point fixe du plan R² muni d’un repère orthonormé. Soit M le point du plan dont les coordonnées x et y sont des fonctions de la variable réelle t : x=x(t)=x₀ + αt et y=y(t)=y₀ + βt .
1) Dans le cas particulier x₀=1, y₀=2, α=2, β=3
     a) Placer le point M₀ et les points M pour t=1 et 2.
     b) Eliminer t entre x et y et en déduire l’ensemble des point M quand t varie.
     c) Comparer les vecteurs  et retrouver le résultat précédent.
2) Dans le cas général quel est l’ensemble des point M quand t varie ?
3) Soit f une fonction de deux variables x et y et F la fonction numérique réelle définie par F(t)=f(x(t), y(t)).
     a) Calculer F’(t) et F’(0). Le nombre F’(0) est appelé dérivée de f en  dans la direction du vecteur
     b) Quelle relation existe-t-il entre ce nombre dérivée et le vecteur gradient de f ?

 

EXERCICE III :

1) Calculer les dérivées partielles de la fonction  de deux manières : directement et comme fonction composée.
2) On considère la fonction  
     a) Calculer les dérivées partielles de F
     b) Retrouver le résultat de la question (1) en choisissant une fonction adéquate g.

 

EXERCICE IV :

1) On considère la fonction f(x,y)=x²+xy et le changement de variables . Calculer de deux manières  et donner une écriture matricielle (matrice jacobienne).
2) Soit z=f(x,y) et . Calculer  et donner une écriture matricielle (matrice jacobienne).

 

 

EXERCICE V :

On repère le point M(x,y)R² par ses coordonnées polaires r et θ. Une fonction du point M s’exprime soit par f(x,y) soit par (r,θ).
1) Calculer  en fonction de . Donner une écriture matricielle
2) Calculer  en fonction de .
3) Application : Trouver la forme générale de toutes les fonction f qui vérifient :