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EXERCICE I :

Calculer les dérivées partielles d’ordre un des fonctions suivantes :

EXERCICE II :

Soit O un ouvert de Rⁿ et f : O → Rⁿ de classe C¹. On dit que f est homogène de degré p si
x=(x₁, x₂, …, x_n)O  λR   f(λ x)= λ ^pf(x)          (f(λx₁, λx₂, …, λx_n)= λ ^pf(x₁, x₂, …, x_n))
1) Montrer que les fonctions suivantes sont homogènes et déterminer leur degré.

2) Montrer que chacune des fonctions précédentes vérifie :  

 

EXERCICE III :

Montrer qu’en (0,0) la fonction suivante est continue, admet des dérivées partielles d’ordre un mais n’est pas de classe C¹.  

 

EXERCICE IV :

Etudier la continuité et l’existence des dérivées partielles d’ordre un et deux de la fonction définie par : . On montrera en particulier que  sont définies en (0,0) mais n’ont pas la même valeur.

 

EXERCICE V :

Calculer les dérivées partielles d’ordre un et deux de la fonction de Cobb-Douglass (TD2 Exercice IV) et de la fonction d’utilité ((TD2 Exercice V).