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EXERCICE I :

1) Montrer que les vecteurs u = (2 2 1), v = (1 3 1) et w = (-2 1 3) sont linéairement indépendants dans R³
2) Montrer que les vecteurs u = (1 0 3), v = (0 1 2) et w = (3 -1 7) ne sont pas linéairement indépendants dans R³ et donner la relation linéaire qui les lie.

EXERCICE II :

1) Montrer que les deux matrices colonnes A=^t(1  2) et B=^t(1  -2)  engendrent R²_c. A et B sont-elles linéairement indépendantes ?
2) Montrer que les trois matrices colonnes A=^t(1  2), B=^t(1  -2) et C=^t(3  2)  engendrent R²_c. A, B et C sont-elles linéairement indépendantes ?
3) Montrer que les trois matrices colonnes A=^t(3  1  5), B=^t(2  1  4) et C=^t(-1  2  3)  engendrent R³_c.

EXERCICE III :

1) Le vecteur u=(3,10,-7,5) appartient-il au sous-espace vectoriel de R4 engendré par les deux vecteurs : x=(1,4,-5,2) et y = (1,2,3,1)?
2) Déterminer l et m de façon que le vecteur (l,m,-25,-1) appartienne au sous-espace vectoriel de R4 engendré par  x = (1,4,-5,2) et y = (1,2,3,1)

EXERCICE IV :

   K appartient-il à l’espace des colonnes de A ?

EXERCICE V :

On considère l'espace vectoriel E=R³ et F le sous-espace engendré par {(1,0,0) ; (0,1,0)} et G le sous-espace engendré par {(0,1,1) ; (1,0,1)}. Donner FÇG

EXERCICE VI :

Soit R₂[x] le R-espace vectoriel des polynômes de degré £ 2. On considère les polynômes
{e₁; e₂; e₃} définis par: e₁(x)=2+x+4x²        e₂(x)=1-x+3x²             e₃(x)= 3+2x+5x²
Ecrire les polynômes suivants comme combinaison linéaire de e₁, e₂ et e₃

     a) p(x)=0      b) q(x)=-2-2x²            c) r(x)=11+5x+19x²

EXERCICE VII :

Soit M_n(R) le R-espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n
1) Montrer que toute matrice A de M_n(R) s'écrit comme somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique.          
2) Décomposer quelques matrices carrées sous cette forme.
3) Soit S le sous-ensemble de M_n(R) des matrices symétriques et A celui des matrices antisymétriques.
         a) Montrer que S et A sont des sous-espaces vectoriels de M_n(R).
         b) Montrer que M_n(R) = S Å A

EXERCICE VIII :

Soit S={u₁; u₂;...; u_n} une famille d'un R-espace vectoriel E. On considère les trois transformations suivantes :
   a) échange de l'ordre des vecteurs
  b) multiplication de l'un d'eux par un réel non nul
  c) remplacement de l'un des vecteurs par lui-même augmenté d'un multiple d'un autre vecteur.
1) On suppose S libre.
  a) Montrer que cette famille reste libre lorsqu’elle subit un nombre fini de ces transformations.
  b) On considère les vecteurs : v₁ = u₁ ; v₂ = u₁+ u₂ ; v₃ = u₁+ u₂+ u₃ ;...; vn = u₁+ u₂+ ...+ u_n
Montrer que la famille  {v₁; v₂;...; v_n} une famille libre
2) On suppose S quelconque. Montrer que le sous-espace engendré par cette famille n’est pas modifié lorsqu’elle subit un nombre fini de ces transformations.

EXERCICE IX :

Soit R_n[x] le R-espace vectoriel des polynômes de degré £ n.
1) On considère n = 2 et soit p(x) un élément de R₂[x] de degré 2. Montrer que p(x) et ses deux polynômes dérivées p'(x) et p"(x) sont linéairement indépendants
2) On considère n quelconque et soit p(x) un élément de R_n[x] de degré n. Montrer que p(x) et ses n polynômes dérivées p'(x), p"(x) ... et p⁽ⁿ⁾(x) sont linéairement indépendants.