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EXERCICE I :

Soit R2 = {u = (x,y) tq x Î R  et y Î R} muni de l’addition habituelle des couples. On y définit la multiplication par un scalaire de la manière suivante :
         "l Î R           "u = (x,y) Î R2          lu = l(x,y) = (lx,o)
Quelle est l’axiome de la structure d’espace vectoriel qui n’est pas vérifié? Que peut-on en conclure?

EXERCICE II :

Soit x et a  deux vecteurs d’un R-ev E. On considère l’équation d’inconnue x et de paramètre a : 4(x - 2a) - 0,5(2 x + a) = 1,5(x + a)
1) Résoudre cette  équation en détaillant toutes les étapes et citant à chaque étape l’axiome (de la définition d’un espace vectoriel) utilisé.
2) En comparant aux calculs usuels dans R ou dans C, quelle est l’opération « interdite » ? (non définie).

EXERCICE III :

          Montrer que E est un R-espace vectoriel

EXERCICE IV :

On considère l'espace vectoriel R³ et les sous-ensembles suivants :
a)                   b)
c)       d)
1) Donner quelques éléments de chacun de ses sous-ensembles
2) Lesquels de ces sous-ensembles sont des sous-espaces vectoriels de R³?

EXERCICE V :

1) On considère les sous-ensembles suivants de l’espace vectoriel R²
A={u=(x,y)ÎR² tq x>y}                   B={u=(x,y)ÎR² tq x-y=1}
C={u=(x,y)ÎR² tq x²=y}                 D={u=(x,y)ÎR² tq x-y=0}
Représenter graphiquement ces sous-ensembles et indiquer les sous-espaces vectoriels de R².
2) Donner un sous-ensemble de l’espace vectoriel R² stable pour l’addition et pour l’opposé et qui ne soit pas un sous-espace vectoriel de R².

EXERCICE VI :

Soit R₃[X] l'espace vectoriel des polynômes de degré £ 3. On considère les sous-ensembles suivants
         a)
         b)
         c)
1) Donner quelques éléments de chacun de ses sous-ensembles
2) Lesquels de ces sous-ensembles sont des sous-espaces vectoriels de R₃[X]?

EXERCICE VII : (D’après examen)

Soit
Montrer que E est un R-ev pour les opérations habituelles.

EXERCICE VIII :

1) Le vecteur u=(3,10,-7,5) appartient-il au sous-espace vectoriel de R4 engendré par les deux vecteurs : x=(1,4,-5,2) et y = (1,2,3,1)?
2) Déterminer l et m de façon que le vecteur (l,m,-25,-1) appartienne au sous-espace vectoriel de R4 engendré par  x = (1,4,-5,2) et y = (1,2,3,1)

EXERCICE IX :

1) Donner deux sous-espaces vectoriels A et B d’un espace vectoriel E dont l’union n’est pas un sous-espace vectoriel de E.

2) Montrer que l’union de deux sous-espaces vectoriels A et B d’un espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si AÌB ou BÌA.