Précédent / Suivant / Table des matières

 

EXERCICE I :

1) Calculer   

2) Sans le calculer montrer que le déterminant suivant est nul :  

EXERCICE II :

Calculer les déterminants suivants :     

EXERCICE III :

Vérifier que les entiers : 169, 1300, 1313 et 5265 sont divisibles par 13. En déduire, sans le calculer, que le déterminant suivant est divisible par 13.  

EXERCICE IV :

Développer sous forme de produit de facteurs le déterminant suivant. En déduire les solutions de l’équation Δ(x)=0.    

EXERCICE V :

Résoudre l’équation en x suivante :  

 

EXERCICE VI : (D’après examen partiel)

Soit A=(a_ij)M₃(R)
1) Vérifier que :
Soit A=(a_ij)M₃(R) telle que (i,j){1,2,3}²  a_ij{-1,1}
2) Quelles sont les valeurs possibles de ?
3)      a) Montrer que -6≤det(A)≤6
         b) Montrer que det(A)≠6 et que det(A)≠5
4) Donner un exemple d’une telle matrice A telle que det(A)=4.

EXERCICE IV : (D’après examen partiel)

Sous quelles conditions, portant sur les paramètres réels a et b, le déterminant suivant est-il nul?

 

EXERCICE VII :

Soit A=(aij)Mn(R) telle que i  j aijZ.
Montrer l’équivalence suivante :

A^-1 existe et tous ses coefficients sont dans Z si et seulement si |det(A)|=1

EXERCICE VIII : (D’après examen partiel)

Calculer le déterminant :  

EXERCICE IX :

Résoudre en utilisant la technique des déterminants et selon les valeurs du paramètre réel λ, le système linéaire suivant :
 

EXERCICE X :

Soit a et b deux réels et  .
1) Calculer det(A). Quelles sont les conditions sur a et b pour que A soit inversible?
2) On suppose ces conditions réalisées. Calculer l’inverse de A en :
         a) utilisant l’adjointe.
         b) résolvant un système linéaire AX=K.
         c) utilisant des opérations élémentaires de lignes.

EXERCICE XI :

Soi D_n le déterminant d’ordre n : |aij|  tel que aii=0 et i≠j  aij=1. On désigne par Δ_n le déterminant d’ordre n obtenu en remplaçant a₁₁ par 1 dans D_n.
1) Exprimer D_n et Δ_n en fonction de D_n-1 et Δ_n-1
2) En déduire le calcul de D_n et Δ_n en fonction de n.

 

EXERCICE XII :

Soit A_n=(aij)Mn (R).
1) Montrer que det(A^tA)≥0
2) Montrer que si A est triangulaire supérieure ou inférieure ou en particulier diagonale on a
3) Montrer que si A est antisymétrique d’ordre impair alors det(A)=0.