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EXERCICE I :

Dire, sans calcul, pourquoi les familles suivantes ne sont pas des bases de R²
a) ((1  1) ; (3  3))       b) ((1  1) ; (0  0))      c) ((1  1) ; (1  0) ; (0  1))

EXERCICE II : (D’après examen partiel)

Soit   F={x=(x1   x2   x3)ÎR³  tq   x1+x2  +x3=0}
         G={x=(x1   x2   x3)ÎR³   tq   x1-2x2+x3=0  et  -x1+3x2-2x3=0}
1) Montrer que F et G sont deux sous-espaces vectoriels (pour étudiants intéressés supplémentaires)de R³ et donner une base pour chacun.
2) (Pour étudiants intéressés) Expliciter la décomposition d’un vecteur quelconque xÎR³ en somme d’un vecteur de F et d’un vecteur de G.

EXERCICE III :

Soit R^R l’espace vectoriel des fonctions numériques réelles.

1) Montrer que les familles suivantes sont linéairement dépendantes :
(cos2x, 1, cos²x) ; (2e^x, 3e^-x, shx)
2) Montrer que les familles suivantes sont linéairement indépendantes :
(e^x, e^2x, e^3x) ; (lnx, xlnx, x²lnx)

EXERCICE IV :

Pour quelles valeurs de a la famille : u₁=(a,1,1), u₂=(1,a,1) et u₃=(1,1,a) est une base de R³ ?

EXERCICE V : (D’après examen partiel)

Soit M₃(R) l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre 3 à coefficients réels et soit E le sous-ensemble des matrices de la forme  où a, b et c sont des réels.
1) Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M₃(R). Quelle est sa dimension ? Décrire une base de E.
2) Montrer que si AÎE et BÎE alors AB=BAÎE.
EXERCICE VI :

Soit         Rappelons (voir exercice II TD N°10) que E est un espace vectoriel sur R.
Soit   Montrer que la famille {U, V} est une base de E.

EXERCICE VII :

Soit M_n(R) le R-espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n
1) Montrer que toute matrice A de M_n(R) s'écrit comme somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique.          
2) Décomposer quelques matrices carrées sous cette forme.
3) Soit S le sous-ensemble de M_n(R) des matrices symétriques et A celui des matrices antisymétriques.
     a) Montrer que S et A sont des sous-espaces vectoriels de M_n(R).
     b) Montrer que M_n(R) = S Å A

4) Quelle est la dimension de S et celle de A?
5) En déduire la dimension de M_n(R).

PROBLEME : (D’après examen partiel)

Soit R₂[x] le R-espace vectoriel des polynômes de degré £ 2. Soit B=(e₀; e₁; e₂) sa base canonique. "i=0, 1, 2   "xÎR    e_i(x)=xⁱ
1) On considère les polynômes f_i définis par : f₀ = e₁ - e₀     f₁ = e₂ - e₀             f₂ = e₀ + e₁ + e₂
     a) Montrer que B’=(f₀; f₁; f₂) est une base de R₂[x].
     b) Exprimer les e_i en fonction des f_i.
2) Soit F={p = a₀e₀ + a₁e₁ + a₂e₂ÎR₂[x]  tel que  a₀ + a₁ + a₂=0}
     a) Donner deux exemples de polynômes de F.
     b) Montrer que F est un sous-espace vectoriel de R₂[x].
     c) Ecrire tout polynôme de F en fonction de f₀ et f₁.
     d) Donner une base et la dimension de F.
3) Soit G={pÎR₂[x]  tel que  $aÎR  tel que p = a(e₀ + e₁ + e₂)}
     a) Donner deux exemples de polynômes de G.
     b) Montrer que G est un sous-espace vectoriel de R₂[x].
     c) Ecrire tout polynôme de G en fonction de f₂.
     d) Donner une base et la dimension de G.
4) (Pour étudiants intéressés)

     a) Déterminer FÇG
     b) Montrer que F et G sont supplémentaires.