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EXERCICE I :

Soit  

Donner une base du noyau de A et une base de l’espace colonne de A. Retrouver la relation qui existe entre les dimensions de ces deux sous-espaces et le nombre de colonnes de A.

EXERCICE II :

On considère l’espace vectoriel R²  muni de deux bases : la base canonique B = (e1, e2) et la base
B’ = (f1, f2) avec
1) Représenter dans le plan ces deux bases et décrire comment on passe de l’une à l’autre
2) Donner la matrice P de passage de B à B’ . En déduire la matrice de passage de B’ à B.
3) Posons  les représentants de e1 et e2 dans . Calculer P.E1 et P.E2. Quelle relation avec f1 et f2?
4) Soit x=x1e1+x2e2=y1f1+y2f2. Exprimer x1 et x2 en fonction de y1 et y2 et réciproquement.
Application numérique :      Donner les coordonnées de x=e1+e2 dans la base B’.
                                             Donner les coordonnées de y=f1+f2 dans la base B.

EXERCICE III :

Déterminer une base de l'espace vectoriel des solutions du système :

             

EXERCICE IV :

Soit 
1) Vérifier que PA = R est une matrice ligne réduite échelonnée et Q = P-1.
2) On considère la famille S={(1 1 1 1); (1 2 1 1); (1 3 1 1); (1 1 2 1); (3 2 3 3)} de vecteurs de R⁴
     a) Montrer que S est une famille liée et donner la relation linéaire entre les colonnes de A.      Quel est le rang de S ?
     b) Extraire de S une famille libre et compléter la en une base de R⁴
3) Montrer que les lignes non nulles de R constituent une base de l’espace vectoriel engendré par les lignes de A. Généraliser.
4) Déduire la dimension de l’espace vectoriel engendré par les lignes de A et comparer avec la dimension de l’espace vectoriel engendré par les colonnes de A. Généraliser

EXERCICE V :

Soit R₃[X] l'espace vectoriel des polynômes de degré ≤ 3 muni de sa base canonique
B ={e₁,e₂,e₃,e₄}.
On considère la famille de quatre polynômes p₁, p₂, p₃ et p₄ définis par :
         p₁(x)=1            p₂(x)=1+x+x²              p₃(x)=2+x+ x²             p₄(x)=x³
1) Extraire de cette famille une famille libre
2) Compléter cette famille en une base de R₃[X].

EXERCICE VI :

On rappelle que R[X]  désigne l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, et que pour tout entier naturel n, R_n[X] désigne le sous-espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n. La base canonique de R_n[X] est B=( e₀, e₁, e₂,…, e_n) où xR   e_i(x)=xⁱ    i=0, ..., n.
A tout polynôme p(x) on associe le polynôme q(x)=x²p'(x)-3xp(x) où p’(x)  est la dérivée de p(x).
1) Calculer les composantes dans la base canonique de q(x) en fonction de celles de p dans cette même base.

2) Soit B'=(f₀, f₁, f₂, f₃) où xR   f₀(x)=x ; f₁(x)=x+1 ; f₂(x)=x(x-1) ; f₃(x)= x(x-1)(x+1)
  a) Montrer que B'' est une base de R₃[X]
  b) Exprimer les f_i en fonction des e_i et les e_i en fonction des f_i
  c) Donner les composantes du polynôme p(x)=1+x+x²+x³ dans la base B''. Déterminer les composantes du polynôme q(x) associé au polynôme p(x) dans la base B''.

EXERCICE VII :

Soit R₃[x] l’espace vectoriel des polynômes de degré ≤ 3 muni de la base canonique B=(e0 e1 e2 e3) avec ei(x) = xⁱ  i = 0, 1, 2, 3. On considère la famille de vecteurs B’ = (f0  f1  f2  f3) avec :
f0(x)=1    f1(x) = x     f2(x)=-1+2x²  et  f3(x)=-3x+4x³ (les 4 premiers polynômes de Chebyshev)
1) Montrer que B’ est une base de R3[x].
2) Soit pR₃[x]  avec p(x)=1+3x+2x², donner les coordonnées de p dans la base B’.