Travaux Dirigés N°12
Applications linéaires
EL METHNI M.
EXERCICE I :
Dans toute la suite E et F
sont deux espaces vectoriels sur R
et T une application de E dans F.
Dire pourquoi les applications T
suivantes ne sont pas des applications linéaires :
a)
E=F=R2 T((x,y))=(x2,y) b) E=
F=R
c)
E=F=R T(x)=ex d) E=F=RI T(f)=|f|
e)
E=F=R2[x] T(p)(x)=p’’(x)p(x)
EXERCICE II :
Soient E
et F deux R-espaces vectoriels. Dire lesquelles parmi les applications
suivantes, sont des applications linéaires de E dans F.
a) E = F = R2 T(x,y) = (x,y+1)
b) E = R2, F = R3 T(x,y) = (x,y+x,2x)
c) E = R3, F = R T(x,y,z) = x+yz
d) E = F = R2[x] T(p)(x)
= p(x+1)
e) E = F = RI T(f)(x) = xf(x)
f) E = R4, F = R3 T(x,y,z,t) = (y+x,y-z,z+x)
EXERCICE III :
Soit E un R-espace vectoriel
de dimension 2 muni d'une base {e1,e2}
1) On considère l'endomorphisme T de E
défini par :
a)
Calculer T(3,4)=T(3 e1+4e2) T(1,-1)=T(e1-e2)
b)
Soit u=(x,y)=xe1+ye2ÎE. Donner l'expression
générale de T (T(x,y)=?)
2) Soit T l'endomorphisme de E
défini par son expression générale T(x,y)=T(xe1+ye2)=(2x-3y,x) Calculer T(e1)
et T(e2)
EXERCICE IV :
On considère l’application définie par :
a) Montrer que T est une forme linéaire
b) Quel est son noyau? son image? En
déduire la dimension du noyau.
EXERCICE V:
Soient E et F deux R-espaces vectoriels et T une application linéaire de E dans F. Montrer que :
a)
L'image par T d'un sous-espace
vectoriel de E est sous-espace
vectoriel de F
b)
L'image réciproque par T d'un
sous-espace vectoriel de F est
sous-espace vectoriel de E
EXERCICE VI :
On considère l’espace
vectoriel réel E=R2
1) Soit T l’application de E dans
E définie par :
a)
Calculer T(1,1). Montrer que T est une application linéaire. Quelle
appellation suggériez-vous pour T ?
2) Soit lÎR
et U l’application de E dans E définie par :
a)
Calculer U(1,1). Montrer que U est une application linéaire. Quelle
appellation suggériez-vous pour U ?
EXERCICE VII : (D’après examen)
Soit Rn[X] l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n muni de sa base canonique B={ei} où "xÎR ei(x)=xi i=0,
..., n. Soit j l’application de Rn[X] dans Rn[X] définie par : j : p
® q=j(p)
où "xÎR q(x)=p(x)-xp’(x) où p’(x) est la dérivée de p(x).
1) Montrer que j est une application linéaire.
2) Exprimer j2(p)=joj(p) en fonction de p et de
ses dérivées.
EXERCICE VIII:
Soient E et F deux R-espaces vectoriels et T une application linéaire de E dans F.
1) Soit {u1, u2,..., un} une famille libre de E. Montrer que si T est injective alors
{T(u1),T(u2),...,T(un)} est une
famille libre de F.
2) Soit {e1, e2,..., en} une base de E. Montrer
que :
a) T est injective si et
seulement si {T(e1),T(e2),...,T(en)} est une
famille libre de F.
b) T est surjective si et
seulement si {T(e1),T(e2),...,T(en)} est une
famille génératrice de F.
3) En déduire le théorème (dit
théorème de l'alternative)
Soient E et F deux R-espaces
vectoriels de même dimension finie et T
une application linéaire de E dans F. Alors : T injective Û T surjective Û T bijective
EXERCICE IX :
Soit T
l'application de R4 dans R2 définie par : T(x1,x2,x3,x4)
= (x1-x3,x2-x4)
1) Montrer que T est une application linéaire
2) Quelle est la dimension de Ker(T)? Proposer une base pour Ker(T).
EXERCICE X :
Soit T un endomorphisme de E
et T2 = T o T
1) Montrer que Ker(T)ÌKer(T2) et que Im(T2)ÌIm(T)
2) Soit E=R3 et T
l'endomorphisme défini par : T(x1,x2,x3)=(0,x1,x1+x2)
a)
Déterminer une base de chacun des sous-espaces : Ker(T), Im(T), Ker(T2) et Im(T2)
b)
Vérifier que dim R3=dimKer(T2)+dimIm(T2)
c)
Peut-on dire pour autant que R3 est somme directe de Ker(T2) et de Im(T2)?
EXERCICE XI:
Soient E et F deux R-espaces vectoriels de dimension n et m.
Soit T une application linéaire de E dans F.
1) Montrer que rang(T)£n
et rang(T)£m
2) Soit U un sous-espace vectoriel de E.
Montrer que dim T(U)£dimU.
2) Soit S une application linéaire de F
dans un R-espace vectoriel G. Montrer que :
rang(SoT)£rang(S)
et rang(SoT)£rang(T)
EXERCICE XII :
Soit F et G deux sous-espaces supplémentaires d'un
R-espace vectoriel E. On considère l'application :
p
: E=F+G ® E
x=y+z ® p(x)=y
1) Montrer que p est un endomorphisme de E
et que p2(=pop)=p
2) Déterminer Ker(p) et Im(p). Quelle appellation suggériez-vous pour p?
EXERCICE XIII :
Soit E=F=
et G=
.
On considère les matrices :
et les applications
1) Montrer que les applications R et S
sont des applications linéaires.
2) Donner les expressions
analytiques de R et S. En déduire l’expression analytique de
T=SoR
3) Vérifier que "uÎE T(u)=(B.A)u
EXERCICE XIV :(D’après examen)
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n>0 et u un
endomorphisme de E tel que u2=-Id. (Id est l’application
identique et u2=uou).
a)
Montrer que u est inversible.
b)
Soit x un vecteur non nul de E, montrer que x et u(x) sont linéairement indépendants.
c)
Montrer que l’existence d’un endomorphisme u
de E tel que u2=-Id ne peut
avoir lieu que si la dimension n de E est
paire.
EXERCICE XV : (D’après examen)
Soit E un R-espace vectoriel.
Un endomorphisme p de E est un projecteur si p2=p.
Un endomorphisme u de E est involutif si u2=Id. (où Id est l'identité
dans E)
1) Soit u et p deux
endomorphismes de E tels que p=½(Id+u). Montrer que : p est un projecteur si et seulement si u est involutif.
2) On suppose que p est un projecteur et on pose q=Id-p. Montrer que
a)
q est un projecteur.
b)
Imq=Kerp.
c)
Imp=Kerq.