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Travaux  Dirigés  N°12

Applications linéaires

EL METHNI M.

 

EXERCICE I :

Dans toute la suite E et F sont deux espaces vectoriels sur R et T une application de E dans F.
Dire pourquoi les applications T suivantes ne sont pas des applications linéaires :
  a) E=F=R2             T((x,y))=(x2,y)                        b) E=  F=R            
  c) E=F=R              T(x)=e
x                                   d) E=F=RI                  T(f)=|f|
  e) E=F=R
2[x]        T(p)(x)=p’’(x)p(x)

EXERCICE II :

Soient E et F deux R-espaces vectoriels. Dire lesquelles parmi les applications suivantes, sont des applications linéaires de E dans F.
         a) E = F = R2                          T(x,y) = (x,y+1)
         b) E = R2, F = R3                    T(x,y) = (x,y+x,2x)
         c) E = R3, F = R                     T(x,y,z) = x+yz
         d) E = F = R2[x]                     T(p)(x) = p(x+1)
         e) E = F = RI                          T(f)(x) = xf(x)
         f) E = R4, F = R3                    T(x,y,z,t) = (y+x,y-z,z+x)

EXERCICE III :

Soit E un R-espace vectoriel de dimension 2 muni d'une base {e1,e2}
1) On considère l'endomorphisme T de E défini par :
  a) Calculer             T(3,4)=T(3 e1+4e2)                 T(1,-1)=T(e1-e2)
  b) Soit u=(x,y)=xe1+ye2
ÎE. Donner l'expression générale de T   (T(x,y)=?)
2) Soit T l'endomorphisme de E défini par son expression générale T(x,y)=T(xe1+ye2)=(2x-3y,x) Calculer  T(e1) et T(e2)

EXERCICE IV :

On considère l’application définie par :     
a) Montrer que T est une forme linéaire
b) Quel est son noyau? son image? En déduire la dimension du noyau.

EXERCICE V:

Soient E et F deux R-espaces vectoriels et T une application linéaire de E dans F. Montrer que :
  a) L'image par T d'un sous-espace vectoriel de E est sous-espace vectoriel de F
  b) L'image réciproque par T d'un sous-espace vectoriel de F est sous-espace vectoriel de E

EXERCICE VI :

On considère l’espace vectoriel réel E=R2
1) Soit T l’application de E dans E définie par :    
  a) Calculer T(1,1). Montrer que T est une application linéaire. Quelle appellation suggériez-vous pour ?
2) Soit
lÎR et U l’application de E dans E définie par :  
  a) Calculer U(1,1). Montrer que U est une application linéaire. Quelle appellation suggériez-vous pour ?

 

EXERCICE VII : (D’après examen)

Soit Rn[X] l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n muni de sa base canonique B={ei} où "xÎR   ei(x)=xi    i=0, ..., n. Soit j l’application de Rn[X] dans Rn[X] définie par : j : p ® q=j(p) où "xÎR  q(x)=p(x)-xp’(x) où p’(x)  est la dérivée de p(x).
1) Montrer que
j est une application linéaire.
2) Exprimer
j2(p)=joj(p) en fonction de p et de ses dérivées.

EXERCICE VIII:

Soient E et F deux R-espaces vectoriels et T une application linéaire de E dans F.
1) Soit {u1, u2,..., un} une famille libre de E. Montrer que si T est injective alors {T(u1),T(u2),...,T(un)} est une famille libre de F.
2) Soit {e1, e2,..., en} une base de E. Montrer que :
       a) T est injective si et seulement si {T(e1),T(e2),...,T(en)} est une famille libre de F.
       b) T est surjective si et seulement si {T(e1),T(e2),...,T(en)} est une famille génératrice de F.
3) En déduire le théorème (dit théorème de l'alternative)
Soient E et F deux R-espaces vectoriels de même dimension finie et T une application linéaire de E dans F. Alors : T injective
Û T surjective Û T bijective

EXERCICE IX :

Soit T l'application de R4 dans R2 définie par : T(x1,x2,x3,x4) = (x1-x3,x2-x4)
1) Montrer que T est une application linéaire
2) Quelle est la dimension de Ker(T)? Proposer une base pour Ker(T).

EXERCICE X :

Soit T un endomorphisme de E et T2 = T o T
1) Montrer que Ker(T)
ÌKer(T2) et que Im(T2)ÌIm(T)
2) Soit E=R3 et T l'endomorphisme défini par : T(x1,x2,x3)=(0,x1,x1+x2)
  a) Déterminer une base de chacun des sous-espaces : Ker(T), Im(T), Ker(T2) et Im(T2)
  b) Vérifier que dim R3=dimKer(T2)+dimIm(T2)
  c) Peut-on dire pour autant que R3 est somme directe de Ker(T2) et de Im(T2)?

EXERCICE XI:

Soient E et F deux R-espaces vectoriels de dimension n et m. Soit T une application linéaire de E dans F.
1) Montrer que rang(T)
£n et rang(T)£m
2) Soit U un sous-espace vectoriel de E. Montrer que dim T(U)
£dimU.
2) Soit S une application linéaire de F dans un R-espace vectoriel G. Montrer que :
         rang(SoT)
£rang(S) et rang(SoT)£rang(T)

EXERCICE XII :

Soit F et G deux sous-espaces supplémentaires d'un R-espace vectoriel E. On considère l'application :
       p :        E=F+G   
®    E
                   x=y+z      
®   p(x)=y
1) Montrer que p est un endomorphisme de E et que p2(=pop)=p
2) Déterminer Ker(p) et Im(p). Quelle appellation suggériez-vous pour p?

EXERCICE XIII :

Soit E=F=  et G= . On considère les matrices :
et les applications   
1) Montrer que les applications R et S sont des applications linéaires.
2) Donner les expressions analytiques de R et S. En déduire l’expression analytique de T=S
oR
3) Vérifier que 
"uÎE         T(u)=(B.A)u

EXERCICE XIV :(D’après examen)

Soit E un espace vectoriel de dimension finie n>0 et u un endomorphisme de E tel que u2=-Id. (Id est l’application identique et u2=uou).
  a) Montrer que u est inversible.
  b) Soit x un vecteur non nul de E, montrer que x et u(x) sont linéairement indépendants.
  c) Montrer que l’existence d’un endomorphisme u de E tel que u2=-Id ne peut avoir lieu que si la dimension n de E est  paire.

EXERCICE XV : (D’après examen)

Soit E un R-espace vectoriel. Un endomorphisme p de E est un projecteur si p2=p.
Un endomorphisme u de E est involutif si u2=Id. (où Id est l'identité dans E)
1) Soit u et p deux endomorphismes de E tels que p=½(Id+u). Montrer que : p est un projecteur si et seulement si u est involutif.
2) On suppose que p est un projecteur et on pose q=Id-p. Montrer que
  a) q est un projecteur.
  b) Imq=Kerp.
  c) Imp=Kerq.