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EXERCICE I :

Soit B = (e1,e2,e3) une base de R3 et B’ = (f1,f2) une base de R2.
On considère les applications linéaires : T : R3 ® R3  et  U : R3 ® R2    définies par :
         T(e1)=e1                                     T(e2)=e1+ e2                T(e3)=e1+e2+e3
                U(e1)=f1-2f2                U(e2)=2f1-f2                U(e3)=f1+f2
1) Donner les matrices de T et U. En déduire la matrice de S=UoT
2) Expliciter S à partir de T et U et calculer directement sa matrice

EXERCICE II : (D’après examen)

On considère l'espace vectoriel  muni de sa base canonique B. Soit T l'endomorphisme de  défini par :
1) Donner la matrice A de T relativement à la base B.
2) On considère les trois vecteurs :
Montrer que  (u1,u2,u3) est une base B' de  et donner la matrice de passage P de B à B' ainsi que son inverse P^-1.
3) Déduire de ce qui précède la matrice B de T relativement à la base B'.
4) Pour kÎN*, calculer B^k et en déduire que T^k= a_kT+b_k Id où a_k et b_k  sont deux réels que l'on déterminera. (T^k=ToT^k-1 , T⁰ = Id et Id est l'identité dans  : "xÎ   Id(x)=x)

EXERCICE III : (D’après examen)

Soit R_n[X] l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n muni de sa base canonique B={e_i} où "xÎR   e_i(x)=xⁱ    i=0, ..., n. Soit j l’application de R_n[X] dans R_n[X] définie par : j : p ® q=j(p) où "xÎR  q(x)=p(x)-xp’(x) où p’(x)  est la dérivée de p(x).
1) Montrer que j est une application linéaire.
2) Ecrire la matrice M de j dans la base canonique.
3) Exprimer j²(p)=joj(p) en fonction de p et de ses dérivées.
4) Ecrire la matrice de j² dans la base canonique.

EXERCICE IV : (D'après examen)

Soit  R3[X] l’espace vectoriel des polynômes en x à coefficients réels de degré £ 3 muni de la base canonique B=(e0,e1,e2,e3)  où " x  Î R  ei(x) = xi            i = 0,1,2,3

On considère l’application T : R3[X] ® R3[X] qui à chaque polynôme p de R3[X] associe le polynôme q=T(p) défini par :

"xÎR        q(x)=T(p)(x)=xp’(x)-p(x)       où p’ désigne la dérivée de p.

1) Montrer que T est une application linéaire

2) Donner la matrice A de T relativement à la base canonique B.

3) Donner une base de Im(T) et de Ker(T).

4) Soit U=T²=ToT. Donner l’expression de U(p)(x) et déterminer sa matrice dans la base B.

On considère la famille B’=(p0,p1,p2,p3) de vecteurs de R3[X]  définis par :

p₀(x)=1+ x+ x²+ x³             p₁(x)=1+ x+ x²-x³        p₂(x)=1+ x-x²+ x³        p₃(x)=1-x+x²+ x³

1) Montrer que B’ est une base de R3[X]

2) Donner la matrice P de passage de B à B’ et en déduire P^-1

3) Donner la matrice de T et celle de U dans la base B’.