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EXERCICE I :

Soit R3[x] l’espace vectoriel des polynômes de degré £3 muni de la base canonique B=(e0 e1 e2 e3)  avec ei(x)=xi    i=0, 1, 2, 3. On considère la famille de vecteurs B’=(f0  f1  f2  f3) avec :
f0(x)=1    f1(x)=x       f2(x)=-1 + 2x2  et  f3(x)=-3x + 4x3 (les 4 premiers polynômes de Chebyshev)
1) Montrer que B’ est une base de R3[x].
2) Donner la matrice de passage P de B à B’ ainsi que son inverse est P^-1
3) On considère l’endomorphisme T de R3[x]  défini par : "pÎR3[x]  T(p)=p’
  a) Donner la matrice représentative de T relativement à la base B.
  b) En déduire la matrice représentative de T relativement à la base B’.

EXERCICE II : (D’après examen)

Soit  la matrice, dans la base canonique B, d'un endomorphisme f de R2.
Soit B’ = {e'1=(1,1) ; e'2=(2,1)} une autre base de R2.
1) Donner la matrice de passage P ainsi que P-1. En déduire la matrice B de f dans la base B’.
2) Calculer Bⁿ pour nÎN* et en déduire Aⁿ pour nÎN*

Application :

Soient a et b deux réels non nuls et Ea,bl'espace vectoriel (de dimension 2) des suites (un) numériques réelles vérifiant, pour n³1, la relation :
         (*)    avec u1=a et u0=b donnés.
1) Vérifier qu'on peut écrire la relation (*) sous la forme :
    En déduire que : 
2) Ecrire sous cette forme la suite (un) définie par :    avec u1=1 et u0=0.
3) En déduire l'expression de un en fonction de n.

EXERCICE III :

Soit E et F deux R-espaces vectoriels munis respectivement des bases :
B = {e1,e2} et B ' = {f1, f2, f3} et soit T un élément de L(E,F) dont la matrice relativement aux bases B et B ' est :
1) Déterminer une nouvelle base de F pour laquelle la matrice A' associée à T est ligne réduite échelonnée.
2) En déduire la matrice de changement de base P telle que A'=P.A (faire un diagramme)

EXERCICE IV : (D’après examen)

Soit E un espace vectoriel réel et u un endomorphisme de E vérifiant u²-5u+6Id=0 où u²=uou ; Id est l’application identique de E et 0 l’application identiquement nulle de E dans E. On considère les deux endomorphismes p et q de E définis par : p=u-2Id et q=Id-p.
1) Montrer que p et q sont des projecteurs (p²=p et q²=q)
2) Calculer poq ; qop et p+q
3) Soit E=R³ muni de sa base canonique B=(e₁, e₂, e₃) et soit u l’endomorphisme de E dont la matrice dans la base B est
  a) Montrer que p et q, définis comme précédemment, sont des projecteurs.
  b) Déterminer la dimension et donner une base du noyau et de l’image de p et q
  c) On considère les trois vecteurs f₁=e₁+e₂+e₃ ; f₂=-e₁+e₂ et f₃=-e₁+e₃. Montrer que B’=(f₁, f₂, f₃) est une base de E et donner la matrice B de u dans cette base B’. Calculer Bⁿ et en déduire Aⁿ pour nÎN*.
  d) Donner la matrice de p et de q dans la base B’.

EXERCICE V : (D’après examen)

Soit  R3[X] l’espace vectoriels des polynômes de degré £ 3 muni de la base canonique

B = (e0, e1, e2, e3)     où "xÎR    ei(x)=xi       i=0,1,2,3      et soit a0,a1,a2 et a3 4 réels distincts

On considère les quatres polynômes :

1) Vérifier que Pi(aj) = 0 si i ¹ j  et Pi(aj) = 1 si i = j

2) Montrer que la famille B’ = (P0,P1,P2,P3) est une base de R3[X]

3) Donner la matrice de passage de B’ à B

4) En déduire que la matrice   est inversible

5) Donner les composantes d’un polynôme quelconque p(x)=a 0+a 1x+a 2x2+a3x3 de R3[X] dans la base B’

EXERCICE VI :

Soit R3[x] l’espace vectoriel des polynômes de degré £3 muni de la base canonique B=(e0 e1 e2 e3)  avec ei(x)=xi    i=0, 1, 2, 3. On considère la famille de vecteurs B’=(f0  f1  f2  f3) avec :
f0(x)=1    f1(x)=x    f2(x)=-1 + 2x2  et  f3(x)=-3x + 4x3 (les 4 premiers polynômes de Chebyshev)
1) Montrer que B’ est une base de R3[x].
2) Vérifier que la matrice de passage de B à B’ est    et son inverse est 
3) On considère l’endomorphisme T de R3[x]  défini par : "pÎR3[x]  T(p)=p’
       a) Donner la matrice représentative de T relativement à la base B.
       b) En déduire la matrice représentative de T relativement à la base B’.