Précédent / Suivant / Table des matières

 

EXERCICE I :

1) On considère le polynôme en x   p(x)=(x-1)(x+2). Combien admet-il de racines réelles?

2) Soit A une matrice carrée et soit le polynôme en  A    P(A)=(A-I)(A+2I)

  a) Montrer que P(A)=A²+A-2I

  b) Vérifier que pour chacune des matrices suivantes on a P(A)=0
 
  c) Quelle conclusion peut-on en tirer?
  d) Donner l’inverse de : 

EXERCICE II:

Soit A une matrice involutive.
1) Montrer que les deux matrices  sont idempotentes.
2) Montrer que

EXERCICE III

On considère les quatre matrices :  
1) Montrer quelles sont linéairement dépendantes. On écrira, pour cela, A₂ comme combinaison linéaire des autres.
2) Est-ce que A₁ dépend linéairement des autres ?
3) Montrer qu’une matrice nulle dépend linéairement de n’importe quel ensemble de matrices de même format.

EXERCICE IV

1) Donner deux matrices carrées A et B telles que :  AB=0  et  BA¹0.
Calculer (A+B)(A-B) et A²-B²  et comparer.
Calculer (A±B)² et A²±2AB+B²  et comparer.
2) Soient A  et B deux matrices carrées de même ordre n
Montrer qu’une condition nécessaire et suffisante pour que (A+B)(A-B)=A²-B² est que A  et B  commutent.
3) Soient A  et B deux matrices carrées de même ordre n
Montrer qu’une condition suffisante pour que (A±B)²=A²±2AB+B² est que A  et B  commutent. Cette condition est-elle nécessaire?
4) Soient A  et B deux matrices carrées de même ordre n telles que AB=BA
Montrer que :
Donner une expression analogue pour (A-B)ⁿ.
Application numérique :  soit  
  a) Montrer que la matrice  est nilpotente et donner son indice de nilpotence.
  b) En remarquant que A = 2I₃ + J  calculer Aⁿ  pour nÎN*.

EXERCICE V :

Soit A=(a_ij)ÎM_n´p(R) B=(b_ij)ÎM_p´q(R) et C=AB
1) Montrer que si une ligne d’indice i de A est nulle il en est de même de la ligne de même indice de C
2) Montrer que si une colonne d’indice j de B est nulle il en est de même de la colonne de même indice de C
3) Montrer que si une colonne d’indice j de A s’écrit comme combinaison linéaire des p-1 colonnes restantes de A alors toutes les colonnes de C s’écrivent comme combinaison linéaires des p-1 colonnes restantes de A.

EXERCICE VI :

Soit A, B et P trois matrices carrées de même ordre n et soit kÎN*. On suppose que P est inversible et que B = P^-1AP.
1) Montrer que B^k = P^-1A^kP et que A^k = PB^kP^-1
2) En déduire que a_kA^k + a_k-1A^k-1 +¼+ a₂A² + a₁A + a₀I = 0   si et seulement si
a_kB^k + a_k-1B^k-1 +¼+ a₂B² + a₁B + a₀I = 0            où "i = 0,1,¼,k  a_i Î R

EXERCICE VII :

Soit  A=(aij) une matrice carrée d’ordre n. On dit que A est triangulaire inférieure (respectivement  triangulaire supérieure) si "i<j  a_ij=0 (respectivement "i>j  a_ij=0). On dit que A est triangulaire unipotente  si A est triangulaire et si .

1) a) Montrer que la somme de deux matrices triangulaires inférieures (respectivement triangulaires supérieures) de même ordre est une matrice triangulaire inférieure (respectivement triangulaire supérieure).

b) La somme de deux matrices triangulaires unipotentes est-elle une matrice triangulaire      unipotente?

2) a) Montrer que le produit de deux matrices triangulaires inférieures (respectivement triangulaires supérieures) de même ordre est une matrice triangulaire inférieure (respectivement triangulaire supérieure).

b) La matrice produit de deux matrices triangulaires unipotentes est-elle triangulaire unipotente?

EXERCICE VIII :

Soient A, B, et C trois matrices carrées et D=diag(A,B,C). Montrer que D est nilpotente si et seulement si A, B, et C le sont.

EXERCICE IX:

Soit U=(u_ij) la matrice carrée d’ordre n définie par : "i=1,2, … , n  et  "j=1,2, … , n   u_ij=1 et soit A=U-I_n  où I_n est la matrice identité d’ordre n.
1) Calculer U² et en déduire A².
2) Déterminer deux nombres réels l et m tels que la matrice P=lA+mI_n soit involutive (P²=I_n).

EXERCICE X :

Soit
1) Montrer que la multiplication habituelle des matrices est une loi de composition interne dans E.
2) Montrer que E, muni de la multiplication habituelle des matrices, est un groupe. Est-il commutatif ?
3) Calculer M_aⁿ  pour nÎN*.

EXERCICE XI :

Une matrice carrée d’ordre 1 A=(a) sera identifiée au nombre réel a.
Etant donnés trois nombres réels x, y et z tels que x²+ y²+z²=1. On considère les matrices :

1) Calculer U^tU, ^tUU, M² et P=I+ M².
2) Vérifier que P= U^tU et en déduire que P²=P
3) Montrer que PM=MP=0, en déduire que pour nÎN*  (-1)ⁿM²ⁿ ne dépend pas de n. (on peut examiner (P- M²)ⁿ.

PROBLEME :

Soit   et A_l et A_m deux éléments de E.
1)    a) Montrer que A_l et A_m commutent si et seulement si l=m
       b) Montrer que A_lA_m + A_mA_l =k_l,mI où I est la matrice idendité et k_l,m est un réel que l’on déterminera.
       c) Montrer que k_l,m = 0 si et seulement si l=m
       d) Que peut-on en déduire sur A²_l ?               e) Calculer (A_l + A_m)²
2)    a) Pour tout entier n ³ 1 , montrer que
       b) Montrer que (A_l + A_2l)²ⁿ ne dépend pas de l
3) Rappelons qu’une matrice A=(a_ij(x)), dont les coefficients dépendent d’un paramètre x , admet une limite quand x tend vers l’infini, s’il existe une matrice L=(l_ij)  telle que
       a) Montrer que la matrice  admet, quand n tend vers l’infini, une limite que l’on calculera.
       b) Exprimer simplement la matrice
       c) Montrer que la matrice C admet, quand n tend vers l’infini, une limite que l’on calculera.
4) On décompose
       a) Montrer que J²=-K²=I
       b) En déduire que JK+KJ=0
5) Soit   En utilisant une partition adéquate :
       a) Calculer D²            b) En déduire Dⁿ pour l’entier n ³ 2
       c) On suppose n pair, montrer que Dⁿ est inversible si et seulement si l¹m
       d) Etudier l’inversibilité de Dⁿ pour n impair.