Travaux Dirigés N°4
Opérations élémentaires, Matrices élémentaires
EL METHNI M.
EXERCICE I :
Soit On considère les trois opérations élémentaires L2(4), L32(5) et L21 et soit E1, E2 et E3 les matrices élémentaires correspondantes.
1) Donner E1, E2 et E3
2) Calculer et comparer :
a) L2(4)(A) et E1A b) L32(5)(A) et E2A c) L21(A) et E3A
d) L2(4)L32(5)(A) et E1E2A e) L21L2(4)L32(5)(A) et E3E1E2A
EXERCICE II :
Soit
1) a) Trouver une matrice élémentaire E1 telle que B = E1A. Calculer E1-1
b) Trouver une matrice élémentaire E2 telle que C = E2B. Calculer E2-1
c) En déduire une matrice P inversible C = PA. Calculer P-1
2) Exprimer les lignes de C comme combinaisons linéaires des lignes de A
3) Vérifier que est l’inverse de A. En déduire l’inverse de B et de C.
EXERCICE III :
Soit A = (aij) une matrice diagonale d’ordre n.
1) Montrer que si alors A est inversible.
2) Donner, dans ce cas, son inverse A-1
3) Ecrire A-1 comme produit de matrices élémentaires.
EXERCICE IV :
Soient A=(aij)ÎMn´p(R) et D=diag(d1, d2, …, dn).
1) a)
Ecrire D comme produit de matrices élémentaires.
b) En déduire le terme général de DA.
2) Application numérique :
calculer DA où n=50 et p=100 et "i=1,
.., 50 di=i et "i=1, .., 50 "j=1, .., 100 aij=i+j-1
PROBLEME : (Etude des p-matrices)
Mn(R)
désigne l’ensemble des matrices carrées d’ordre n à coefficients réels, In
est la matrice identité d’ordre n, Rcn désigne l’ensemble des matrices colonnes à n lignes à coefficients réels.
On note lij l’opération
élémentaire de lignes qui échange (permute) la ligne i et la ligne j d’une
matrice. (i n’est pas nécessairement
distinct de j). On note Eij la matrice élémentaire
correspondant à lij. (Eij=lij(In)).
(Rappelons que lij(A)=EijA).
On considère les matrices :
On appelle t-matrice toute matrice obtenue à
partir de In par
application d’une seule opération élémentaire de lignes du type lij.
On appelle p-matrice toute matrice obtenue à partir de In par application
(composition) d’un nombre fini d’opérations élémentaires de lignes du
type lij.
On désigne par Pn l’ensemble des p-matrices carrées d’ordre n.
1) Donner P1, P2 et P3. Dresser la table de Pythagore de P2 pour la multiplication habituelle des matrices.
Quelle est la structure de P2 pour cette
multiplication ?
2) a) Donner la suite d’opérations
élémentaires de lignes transformant I4
en J, I4 en K et I4 en L. Exprimer J comme produit d’un nombre fini de
t-matrices.
b) Calculer JX, appliquer
à X la suite d’opérations élémentaires
de lignes transformant I4
en J.
Que peut-on en conclure ?
c) JK et KJ sont-elles des p-matrices ?
d) Calculer JL et LJ. Que conclure ? Comparer tJ
et L.
3)
Dans Pn on considère la multiplication habituelle des
matrices.
a) Montrer que le produit de deux p-matrices est une p-matrice
b) Montrer qu’une p-matrice est inversible.
c) Montrer que Pn , muni de la multiplication habituelle des
matrices, est un groupe. Est-il commutatif ?
4) a)
Soit T une t-matrice. Montrer que tT=T.
b) Montrer que la transposée d’une p-matrice est une p-matrice
c)
Montrer que l’inverse d’une p-matrice est égale à sa transposée.
5) Soit AÎPn , X=t(x1, x2, … , xn)ÎRcn et Y=AX=t(y1,
y2, … , yn)ÎRcn.
Montrer que "iÎ{1, 2, …,n}
$jÎ{1, 2, …,n} unique tel que yi=xj.
6) Soit AÎPn , X=t(x1, x2, … , xn)ÎRcn et Y=AX=t(y1,
y2, … , yn)ÎRcn et E={x1, x2, … , xn} l’ensemble des coefficients de X. D’après la question précédente E est aussi l’ensemble des coefficients de Y. On dit qu’un coefficient xi
de X est invariant par A si yi=xi. Autrement dit si xi se retrouve à la même
ligne dans Y (que dans X). On note Inv(A) le sous-ensemble de E
des éléments invariants par A et on
désigne par EA son complémentaire dans E que l’on appelle ensemble d’efficacité de A. Une p-matrice dont l’ensemble
d’efficacité est égal à E est dite complète.
a)
Donner l’ensemble d’efficacité de J, K et de I4.
b)
Quel est le nombre d’éléments de l’ensemble d’efficacité d’une t-matrice ?
c)
Donner une borne inférieure et une borne supérieure de l’ensemble d’efficacité
d’une p- matrice qui n’est pas une
t-matrice.
d)
Montrer que deux p-matrices ayant des ensembles d’efficacité disjoints
commutent.
7) Soit AÎPn . On appelle degré
de A le plus petit entier naturel k>0 tel que Ak=In.
a)
Quel est le degré de In ?
Quel est le degré d’une t-matrice ?
b)
Quel est le degré de J ? Donner
le sous-groupe engendré par J.
c)
Soit AÎPn de degré pair (k=2r),
quel est l’inverse de Ar ?
d) Montrer qu’une p-matrice est symétrique si et seulement si son degré est 1 ou 2.