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EXERCICE I :

1) Ecrire explicitement les matrices carrées d’ordre 4 dont le terme général aij est donné par :
         a) aij = Max{i; j}        b)
2) Pour chacune des deux matrices précédentes calculer :

EXERCICE II :

Soit 
1) Calculer : A + 3B - 2C     2) Les matrices A, B et C  sont-elles linéairement indépendantes?

EXERCICE III

On considère la matrice A=(a_ij)ÎM_n´p(R) dont le terme général est donné par : a_ij=n(i-1)+j.
1) Ecrire la matrice A pour n=4 et p=5 et calculer : a)          b)           c)
2) Ecrire cette matrice A pour n=p  (quelconque) et calculer :
         a)            b)           c)

EXERCICE IV:

Soit 
1) Calculer (si cela est possible) les produits : 3A,  A+ B,  AB, BA, AC, CA, AD, DA, BC, CB, BD, DB, DC, CD, 3A+5DC, (AD)C et A(DC)
1) Résoudre l’équation matricielle d’inconnue X : 3A+4X=5DC

EXERCICE V:(statistique descriptive)

n étudiants sont testés avant et après un cycle de formation.

Dans toute la suite toute matrice scalaire (a) sera identifiée avec le nombre a.

Soit X (respectivement Y) le vecteur colonne des notes des n étudiants avant (respectivement après) le cycle de formation. On a : tX = (x₁, x₂, ..., x_n)   tY = (y₁, y₂, ..., y_n) on pose L = (1  1  ...  1).

1) Calculer :  L X     L Y         L X    et    L Y            Que représentent ces deux dernières matrices?

b) On pose : . Calculer  Que représentent ces deux dernières matrices?

c) On considère la matrice Z de format n´2 dont la première colonne est  et la deuxième .

Former Z et tZ. Calculer :  tZ Z. Que représentent les quatre coefficients de cette matrice?

EXERCICE VI :(comptabilité élémentaire)

	cacao	lait	sucre	matière grasse
chocolat 1	7	3	5	0
chocolat 2	8	4	2	1
chocolat 3	9	1	3	5

Un chocolatier fabrique trois qualités de chocolat. La fabrication du chocolat nécessite 4 matières premières : cacao, lait, sucre et matière grasse. Le tableau des coefficients techniques suivant peut être considéré comme une matrice M où chaque ligne indique la quantité d’unités nécessaire à la fabrication d’une unité de chocolat.

1) Comment interpréter chaque colonne?

2) Le chocolatier reçoit une commande de 7 unités de chocolat N°1, 4 unités de chocolat N°2 et 11 unités de chocolat N°3. On peut représenter cette commande par une matrice ligne C = (7  4  11).Calculer le produit C.M et en donner une interprétation.

3) On connaît le prix de chaque composant intervenant dans la fabrication du chocolat, Soit P la matrice colonne des prix : P = t(3  2  4  5). Calculer le produit M.P et en donner une interprétation.

4) Calculer C.M.P de deux manières. Que représente-t-il ?

 

EXERCICE VII (d’après examen partiel)

Soit M₃(R) l’ensemble des matrices carrées 3´3 à coefficients réels.
On dit qu'une matrice A = (aij) de M₃(R) est semi-magique si :
(a) la somme des éléments de chaque ligne vaut s
(b) la somme des éléments de chaque colonne vaut s.
Ce qui s'écrit :
On dit qu'une matrice A = (aij) de M₃(R) est magique si, en plus des propriétés (a) et (b) elle vérifie (c) : la somme des éléments de chacune des deux diagonales  vaut s
On désigne par S le sous-ensemble de M₃(R) des matrices semi-magiques et par M le sous-ensemble de M₃(R) des matrices magiques.
1)      a) Ecrire la condition (c) portant sur les coefficients d'une matrice magique à la manière de (a') et (b')
  b) Parmi les matrices suivantes quelles sont les matrices magiques? semi-magiques?

      
      

2) Montrer que S et M sont stables pour l’addition et pour la multiplication par un réel.
3) Ecrire X comme combinaison linéaire de D, F et C et comme combinaison linéaire de E,B et G.
En déduire que chacune des 6 matrices B, C, D, E, F et G  s'écrit comme combinaison linéaire des 5 autres
4) Soit A = (aij) une matrice magique de M. Calculer la somme des 9 coefficients de A en fonction de s. Calculer le terme a₂₂ en fonction de s.