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Soit I un ensemble fini et x une application de I dans R ou C qui à chaque élément i de I fait correspondre un réel (ou un complexe) x_i. I est appelé famille d’indices, x variable indicée ou indexée par i et i est l’indice. De façon générale les éléments de I sont des entiers naturels successifs I={1, 2, 3, …, n} ou I={5, 6, 7, …, n} ou encore I={p, p+1, p+2, …, n}. Dans toute la suite on prendra I={1, 2, 3, …, n} , J={1, 2, 3, …, p} et (x_i)_iI (ou (x_i)_1≤i≤n) et (y_j)_jJ (ou (y_j)_1≤j≤p) sont deux familles de nombres réels (ou complexes). λ et μ sont deux réels (ou complexes) fixés.

Définition : On définit  par : σ₀=0 et σ_k+1=σ_k+x_k+1 pour k[[0   n-1]].
De même on définit  par : π₀=1 et π_k+1=π_k×x_k+1 pour k[[0   n-1]].

Partie I :

1) Justifier que :

     a) σ_n=x₁+x₂+…+x_n        b)  

2) Calculer :  

3) Justifier que :  

4) A-t-on  ? A-t-on  ?

5) Justifier que :

     a)       b)  

6) Sachant que :  calculer  

7) Compléter :          a)             b)  

8) On pose :  (comment désigne-t-on ce nombre ?) Calculer  Connaissiez-vous cette propriété ? Enoncez la en une phrase simple.

9) On considère une « liste double » (x_i ; p_i) _1≤i≤k où x_i sont les notes obtenues par un étudiant à la matière i et p_i sont les coefficients de cette matière i. On pose :  

Que vaut  ? Connaissiez-vous cette propriété ? Enoncez la en une phrase simple.

10) On pose :  comment désigne-t-on ce nombre ? Montrer que

 Connaissiez-vous ce théorème ?

11) On considère une « liste double » (x_i ; y_i) _1≤i≤k où x_i sont les notes obtenues par un étudiant X à la matière i et y_i sont les notes obtenues par un étudiant Y à la même matière i. On pose :  comment désigne-t-on ce nombre ? Montrer que  Connaissiez-vous ce théorème ?

Partie II :

1) Justifier que :

     a) π_n=x₁×x₂×…×x_n.  b)  

2) Calculer :  

3) Justifier que :  

4) A-t-on :

     a)  ?            b)  ?

     c)     d)  

5) Compléter :

     a)         b)  

6) Montrer que :  Ecrire cette égalité en termes de factoriel.

 

Partie III :

Soient I={1, 2, …, n} et J={1, 2, …, p} deux familles d’indices on note (x_ij)_{iI jJ} (ou (x_ij)_{1≤i≤n 1≤j≤p}) une variable indexée conjointement par I et J. On représente les x_ij par un « tableau » à n lignes (indexées par I) et à p colonnes (indexées par J).

1) Dresser le tableau X=(x_ij)_{iI jJ} dans les cas suivants:

     a) I={1, 2, 3} et J={1, 2, 3, 4} et x_ij=2i-j           b) I={1, 2, 3} = J et x_ij=1/(i+j-1)

     c) I={1, 2, 3,4} = J et                 b) I={1, 2, 3, 4} = J et  

2) Soit X=(x_ij)_{iI jJ} un tableau « carré » I=J={1, 2, …, n}. Matérialiser sur ce tableau les éléments suivants : x_ii iI ;   x_3j jJ ;   x_ii i>j ;   x_n-i+1,i iI ;  

3) Quelle signification donneriez-vous à  ?

4) A-t-on  ?

5) Dans le cas où I=J caractériser (sur le tableau)  

6) Soient I={1, 2, …, n} et J={1, 2, …, p} deux familles d’indices. On considère deux tableaux X=(x_ij)_{iI jJ} et Y=(y_ij)_{iI jJ} .La somme de X et Y est un tableau Z=XY=(z_ij)_{iI jJ} où iI et jJ z_ij=x_ij+y_ij.

     a) Montrer que : XY=YX (l’addition est commutative)

     b) Montrer que : X(YZ)=(XY)Z (l’addition est associative)

     c) Existe-t-il un tableau T tel que : XT=TX=X ? (existence d’un élément neutre). Quelle notation suggériez-vous pour T ?

     d) Existe-t-il un tableau U tel que : XU=UX=T ? (existence d’un opposé) (T étant le tableau de la question précédente). Quelle notation suggériez-vous pour U ?

7) Soient I={1, 2, …, n} et J={1, 2, …, p} deux familles d’indices. On considère deux tableaux X=(x_ij)_{iI jJ} et Y=(y_ij)_{iI jJ} . Le transposé de X est un tableau Z=^tX=(z_ij)_{iI jJ} où iI et jJ z_ij=x_ji.

     a) Montrer que : ^t(XY)=^tX^tY

     b) On suppose n=p. Que peut-on dire de X si ^tX=X ? Que peut-on dire de X si ^tX=-X ? (-X au sens de 6-d)

8) Soient I={1, 2, …, n}=J. On considère deux tableaux « carrés » X=(x_ij)_{iI jI} et Y=(y_ij)_{iI j} .La trace de X est le nombre  

     a) Montrer que : tr(XY)=trX+trY

     b) Montrer que : tr(^tX)=tr(X)

 

Partie IV :

Soient I={1, 2, …, n} et J={1, 2, …, p} deux familles d’indices. On considère le tableau donnant les notes (x_ij)_{iI jJ} de l’étudiant i à la matière j.

1) Que représente  i₀ fixé ?

2) Que représente  j₀ fixé ?

3) Donner trois formules permettant de calculer la moyenne de toutes les notes.

4) On considère la liste (c_j)_jJ où chaque c_j est le coefficient de la matière j.

     a) Donner une formule permettant de calculer la moyenne pondérée de l’étudiant i₀.

     b) Présenter les résultats sous la forme : (notes)(coefficients)=(moyennes des étudiants)