Précédent / Suivant / Table des matières
IX. Espaces vectoriels
IX-1. Définitions et premières propriétés
Définition 1
: (Axiomatique d’un espace vectoriel)
Soit E un ensemble non vide et R le corps des nombres réels. On dit
que E est un espace vectoriel sur
le corps R si :
(A) E muni d’une loi interne, notée +, est un groupe commutatif. C’est à dire : E est muni d’une addition qui à tout couple (x,y) de E2 associe un élément z de E , appelé somme de x et y et noté z=x+y. Cette loi interne devant vérifier les quatre propriétés suivantes :
· (1) (x,y,z)
E3 x+(y+z)=(x+y)+z associativité. On écrira donc x+y+z
· (2) (x,y)
E2 x+y=y+x
commutativité
· (3) L’addition admet un élément neutre noté 0 : x
E x+0=0+x=x
· (4) Tout élément x
de E possède un symétrique (on
dit aussi opposé) noté -x et vérifiant
x
E x+(-x)=(-x)+x=0 (on écrira x-x=-x+x=0)
(B) E est muni d’une loi externe, notée multiplicativement par. et associant à tout couple (λ,x) de R×E un élément z de E , appelé produit de λ et x et noté z=λ.x=λx. Cette loi externe devant vérifier les quatre propriétés suivantes :
· (1) (α,β)
R2
x
E α(βx)=(αβ)x on écrira : αβx
· (2) α
R
(x,y)
E2 α(x+y)=αx+αy
· (3) (α,β)
R2
x
E (α+β)x=αx+βx
· (4)x
E 1x=x
Notation :
· Le R-ev E sera noté (E,+,.) ou plus simplement E (s’il n’y a pas d’ambiguïté).
· Les éléments de E sont appelés des vecteurs et notés, souvent, par des lettres latines minuscules.
· Les éléments de R sont appelés des scalaires et notés, souvent, par des lettres grecques minuscules.
Proposition 1 :
· (a) L’élément neutre 0 est unique.
· (b) Le symétrique (l’opposé) d’un élément est unique.
· (c) L’équation en x : x+a=b admet une solution unique.
· (d) La relation x+y=x+z implique y=z (loi de simplification)
· (e) x
E 0x=0
· (f) α
R α0=0
· (g) x
E -x=(-1)x et de façon générale -(αx)=(-α)x
· (h) αx=0 α=0
ou x=0