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X. Sous-espaces vectoriels

 

Définition 1 : Soit E un R-ev et F un sous-ensemble non vide de E. On dit que F est un sous-espace vectoriel de E si :

·     (a) xF  yF          x+yF           (on dit que F est stable par addition)

·     (b) λR  xF        λxF           (on dit que F est stable par multiplication externe)

 

Remarque 1 : Cette définition est équivalente à la suivante :
λR  μR  xF  yF      λx+μyF

 

Proposition 1 : Soit E un R-ev alors :

·     (a) Tout sous-espace vectoriel de E est un R-ev.

·     (b) Si F et G  sont deux sous-espaces vectoriels de E alors F∩G est un sous-espace vectoriel de E. Et de façon générale si F_i  i=1,…,n sont n s.e.v de E alors  est un s.e.v de E.

·     (c) Si F et G  sont deux sous-espaces vectoriels de E alors, en général, FG n’est pas un sous-espace vectoriel de E.

 

Définition 2 : Soit E un R-ev et F et G deux sous-espaces vectoriels de E. On appelle somme de F et G et on note F+G l’ensemble  F+G={zE tq z=x+y où xF et yG}

 

Proposition 2 : Soit E un R-ev et F et G deux sous-espaces vectoriels de E. Alors F+G est un s.e.v de E.

 

Proposition 3 : Soit AX=0 un système linéaire homogène AM_n×p(R), Alors l’ensemble des solutions de ce système est un s.e.v de R_cⁿ  (Rappel ce s.e.v est appelé noyau de A)

 

Définition 3 : Soit E un R-ev. On appelle famille de vecteurs de E une suite (u₁, u₂,…,u_n) de vecteurs de E.

 

Définition 4 : Soit E un R-ev et (u₁, u₂,…,u_n) une famille de vecteurs de E. On appelle combinaison linéaire  (CL) des vecteurs de cette famille tout vecteur de E s’écrivant sous la forme : λ₁u₁ + λ₂u₂ +…+ λ_nu_n où les λ_i sont des nombres réels.

 

Proposition 4 et Définition 5 : Soit E un R-ev et S=(u₁, u₂,…,u_n) une famille de vecteurs de E. L’ensemble de toutes les combinaisons linéaires des éléments de S est un s.e.v de E. On l’appelle sous-espace engendré par S et on le note [S]. On dit aussi que la famille S est une famille génératrice de  [S] ou encore que les vecteurs u₁, u₂,…,u_n sont générateurs de [S].

 

Proposition 5 : Soit E un R-ev et S et T deux familles de vecteurs de E. Alors :

·     (1) ST  [S][T]

·     (2) [S] est le plus petit (au sens de l’inclusion) s.e.v de E contenant S

·     (3) Si F et G sont deux s.e.v de E alors F+G=[FG]

 

Définition 6 : Soit A=(a_ij)M_n×p(R)

·     Le sous-espace de R_cⁿ engendré par les colonnes de A est appelé espace des colonnes de A.

·     Le sous-espace de R_l^p engendré par les lignes de A est appelé espace des lignes de A.

 

Définition 7 : Soit E un R-ev et F et G deux s.e.v de E. On dit que E est somme directe de F et G si

·     (1) E=F+G

·     (2) F∩G={0}
On note E=FG et on dit que F et G sont supplémentaires.

 

Remarque 1 : Cette définition se généralise à un nombre fini F₁, F₂, … , F_n de s.e.v de E.
E=F₁F₂… F_n

 

Proposition 6 : Soit E un R-ev et F et G deux s.e.v de E alors E est somme directe de F et G si et seulement si tout élément de E s’écrit de façon unique comme la somme d’un élément de F et d’un élément de G.

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