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XI. Dépendance et indépendance linéaire

 

Définition 1 : Soit E un R-ev et S=(u₁, u₂,…,u_n) une famille de vecteurs de E. On dit que S est une  famille libre  (ou que les vecteurs u₁, u₂,…,u_n sont linéairement indépendants) si :
            λ₁u₁+λ₂u₂+…+λ_nu_n=0    λ₁=λ₂=…=λ_n=0

 

Proposition 1 :

·     (1) Une famille d’un seul vecteur non nul est libre

·     (2) Une famille libre ne contient jamais le vecteur nul ni aucun vecteur s’écrivant comme combinaison linéaire d’autres vecteurs de cette famille.

·     (3) Toute sous-famille d’une  famille libre est libre.

·     (4) La famille S=(u₁, u₂,…, u_n) est libre si et seulement si  u[S]   λ₁, λ₂, …, λ_n uniques tels que  u=λ₁u₁ + λ₂u₂ +…+ λ_nu_n

 

Cas particulier 1 : E=R_cⁿ
Une famille S=(u₁, u₂,…,u_p) de vecteurs de R_cⁿ est libre si et seulement si le système homogène  AX=0 admet la solution triviale comme unique solution. Avec A=(A¹ A² … A^p)=(u₁   u₂ … u_p) et XR_c^p.

 

Définition 2 : Soit E un R-ev et S = (u₁, u₂,…,u_n) une famille de vecteurs de E. On dit que S est une  famille liée  (ou que les vecteurs u₁, u₂,…,u_n sont linéairement dépendants) si :
  λ₁, λ₂, …, λ_n non tous nuls tels que   λ₁u₁ + λ₂u₂ +…+ λ_nu_n = 0

 

Proposition 2 :
Si une famille  (u₁, u₂,…,u_n) est liée alors toute (sur-)famille (u₁, u₂,…,u_n, u_n+1,…,u_p) est liée.

 

Cas particulier 2 : E=R_cⁿ
Une famille S = (u₁, u₂,…,u_p) de vecteurs de R_cⁿ est liée si et seulement si le système homogène  AX=0 admet une infinité de solutions. Avec A=(A¹ A² … A^p)=(u₁   u₂ … u_p) et XR_c^p.

 

 

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