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VIII. Inversion des matrices

 

Rappel : Soit AMn (R)
On dit que A admet un inverse à gauche s’il existe une matrice BMn (R) telle que BA=I
On dit que A admet un inverse à droite s’il existe une matrice CMn (R) telle que AC=I
On dit que A est inversible si A admet un inverse à gauche et un inverse à droite.
Une matrice non inversible est dite singulière.
Si A est inversible alors son inverse est unique
Le produit de n matrices inversibles est inversible.

 

Théorème 8 (fondamental) : Soit AMn(R)  Alors les énoncés suivants sont équivalents :

·     (a) A est inversible

·     (b) A admet un inverse à gauche

·     (c) XMn(R)  YMn(R)     AX=AY    X=Y  (on peut simplifier à gauche par A)

·     (d) Le système homogène AX=0 admet la solution triviale X=0 comme unique solution.

·     (e) rang(A)=n

·     (f)  

·     (g) A est un produit de matrices élémentaires

·     (h) KRcn Le système AX=K admet au moins une solution

·     (i) A admet un inverse à droite

 

Corollaire 4 : (une méthode de calcul de l’inverse)
Soit AMn(R)       si              alors A-1=P

 

Proposition 1 : Soit A=A1 A2 … Ak  où pour tout i = 1, 2, … ,k   AiMn(R) alors : A est inversible si et seulement si tous les Ai sont inversibles.

 

Corollaire 5 :  si et seulement si il existe une matrice inversible P  telle que B=PA

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