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III. Partition des matrices

III-1. Définitions et premières propriétés

 

Définition 1 : Soit A=(a_ij)M_n×p(R). On considère deux suites finies de nombres entiers 1≤i₁≤i₂ … ≤i_r≤n    et 1≤j₁≤j₂ … ≤j_s≤p
La matrice dont les éléments appartiennent aux (non nécessairement consécutives) lignes d’indices i₁, i₂, … i_r de A et aux (non nécessairement consécutives) colonnes d’indices j₁≤j₂ … ≤j_s de A est appelée sous-matrice de A. Elle est de format r×s

 

Lemme 1 : Soit A, B et C trois matrices telles que AB = C alors la sous-matrice de C formée des lignes i₁, i₂, …i_r et des colonnes j₁, j₂, … , j_s est égale au produit de la sous-matrice de A formée par les lignes i₁, i₂, … i_r de A par la sous-matrice formée par les colonnes  j₁, j₂, … , j_s de B.

 

Définition 2 : Partitionner une matrice A=(a_ij)M_n×p(R) en blocs c’est se donner des entiers n₁, n₂, … n_α  et p₁, p₂, … , p_β   tels que   et définir les α×β sous-matrices (ou blocs) de A . On obtient une partition de A en α×β blocs A_IJ.

 

                         

On notera  A =(A_IJ)      I = 1, 2, … ,α              J = 1, 2, … , β

 

Cas particulier 1 :
A peut être partitionnée uniquement en lignes      
A peut être partitionnée uniquement en colonnes : A = (A¹ A² … A^β)
(voir la remarque 1 du chapitre I pour un cas encore plus particulier)

 

 

 

 

 

Cas particulier 2 :
Si une matrice A peut être partitionnée en blocs sous la forme :

                  

où les A_i sont des matrices carrées (pas nécessairement de même ordre) on dit que A est diagonale par blocs et on note : A = diag(A₁, A₂, …,A_k). On dit aussi que A est la somme directe des A_i et on note
A = A₁  A₂  …  A_k

 

Définition 3 : Soit A et B deux matrices ayant le même nombre de lignes, on appelle matrice augmentée la matrice (A  B) formée des deux blocs A et B. De même si A et B sont deux matrices ayant le même nombre de colonnes, on appelle matrice augmentée la matrice  formée des deux blocs A et B.
Ces définitions se généralisent à un nombre fini de matrices : (A₁   A₂   …  A_k) et  

 

III-2. Calcul matriciel par blocs

 

III-2-1. Addition
Si deux matrices A et B de même format ont la même partition par blocs A = (A_IJ ) et
B = (B_IJ) alors C = A+B admet la même partition C = (C_IJ) et on a  I   J C_IJ = A_IJ+B_IJ

 

III-2-2. Multiplication par un nombre
Soit λR et A = (A_IJ ) une matrice partitionnée,  alors C = λA  admet la même partition que A et  I   J  C_IJ = λA_IJ

 

III-2-3. Produit de deux matrices

 

Proposition 1 : Soit A=(a_ij)M_n×p(R) partitionnée en lignes A₁, A₂, …,A_r et B=(b_ij)M_p×q(R) partitionnée en colonnes B¹, B², …, B^s. Partitionnons la matrice C=AB en blocs engendrés par la partition en lignes de A et la partition en colonnes de B. Alors   I    J   C_IJ=A_IB^J

 

Définition 4 : Soit A=(a_ij)M_n×p(R) et B=(b_ij)M_p×q(R). Si A est partitionnée en s blocs colonnes A¹, A², …,A^s contenant respectivement p₁, p₂, … , p_s  colonnes de A (p₁ + p₂ + … + p_s = p ) et si B est partitionnée en s blocs de lignes B₁ B₂ …, B_s contenant respectivement p₁, p₂, … , p_s  lignes de B alors on dit que A et B  admettent une partition conforme.

 

Proposition 2 : Soit A=(a_ij)M_n×p(R) et B=(b_ij)M_p×q(R) admettant une partition conforme, alors, avec les notations précédentes, on a : C=AB=A¹B₁+A²B₂+…+A^sB_s

 

 

Corollaire 1 : Le théorème 1 du I-4 est un corollaire du théorème 2 et on peut l’écrire de la manière suivante : si C=AB   alors  i  C_i=(AB)_i=A_iB   et  j  C^j=(AB)^j=AB^j

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