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II. Matrices carrées

II-1. Matrices inversibles

 

Définition 1 : Soit AM_n (R)
On dit que A admet un inverse à gauche s’il existe une matrice BM_n (R) telle que BA = I
On dit que A admet un inverse à droite s’il existe une matrice CM_n (R) telle que AC = I
On dit que A est inversible si A admet un inverse à gauche et un inverse à droite.
Une matrice non inversible est dite singulière.

 

Lemme 1 :

·      Si A admet un inverse à gauche B et un inverse à droite C alors B = C (et A est inversible).

·      Si A est inversible alors son inverse est unique. On note A^-1cet inverse.

 

Proposition 1 : Soit A et B deux éléments de M_n(R). On a alors les propriétés suivantes :

·     (a) Si A est inversible alors son inverse A^-1 est aussi inversible et on a  (A^-1)^-1 = A

·     (b) Si A et B  sont inversibles alors AB est aussi inversible et  (AB)^-1 = B^-1A^-1
et de façon générale si A₁, A₂, … A_k, sont k matrices inversibles alors le produit A₁A₂…A_k est inversible et (A₁A₂…A_k)^-1 = A_k^-1… A₂^-1A₁^-1

·     (c) A est inversible alors ^tA est aussi inversible et   (^tA )^-1 = ^t(A ^-1). On notera ^tA ^-1.

·     (d) Si A et B  sont inversibles alors ^t(A B)^-1=^tA^{-1 t}B^-1

 

Définition 2 : Soit AM_n(R) et kN
La puissance k^ème de A, notée A^k, est définie par : A⁰=I       A^k = AA^k-1 pour k ≥ 1
de même, si A est inversible A^-k, est définie par : A⁰=I       A^-k = A^-1A^-(k-1) pour k ≥ 1
de même on définit un polynôme de la matrice A par : P(A)=λ₀I+λ₁A+λ₂ A²+…+λ_kA^k où les  λ_i  sont des réels.

 

Proposition 2 : Soit AM_n(R) et kN Alors on a les propriétés suivantes :

·     (a) kN  rN          A^k A^r=A^k+r            (A^k)^r=A^kr

·     (b) Si A est inversible alors : (A^-1)^k = (A^k)^-1=A^-k

 

Définition 3 : Soit AM_n(R). On appelle trace de A et on note tr(A), le nombre :  

Proposition 3 : Soit A et B deux éléments de M_n(R) et λR Alors on a :

·     (a) tr(A+B) = tr(A)+tr(B)

·     (b) tr(λA)=λtr(A)

·     (c) tr(^tA)=tr(A)

·     (d) tr(AB)=tr(BA)

 

 

 

 

 

 

 

 

II-2. Matrices carrées particulières

 

Définition 4 : Soit AM_n(R)

·     (a) A est symétrique si ^tA=A

·     (b) A est antisymétrique si ^tA=-A

·     (c) A est idempotente si A²=A

·     (d) A est involutive si A²=I

·     (e) A est nilpotente s’il existe un entier naturel p tel que A^p=0. Si k est le plus petit entier naturel pour lequel A^k=0 alors k est l’indice de nilpotence de A.

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