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I. Généralités sur les matrices

I-1. Définitions et premières propriétés

Définition 1 : Etant donné un couple d’entiers naturels (n,p)N*×N*, on appelle matrice à coefficients réels la donnée d’une suite finie double de nombres réels (a_ij) i=1,…,n     j=1,…,p. On présente une telle matrice sous la forme d’un tableau à n  lignes et p  colonnes.
                              
a_ij  est le terme général de la matrice, i est l’indice de ligne et j l’indice de colonne. les nombres a_ij  sont les éléments (ou termes ou coefficients) de la matrice. Une matrice à n  lignes et p  colonnes et de terme général a_ij  est dite de format n×p  et est notée A=(a_ij) i=1,…, n   j=1,…, p.  Ou encore A=(a_ij)  s’il n’y a pas d’ambiguïté sur n et p.
On note M_n×p(R) l’ensemble des matrices de format n×p  à coefficients réels.

 

Cas particuliers :

·     (a) Si p=1 et n>1 : On dit que A est une matrice colonne. Une matrice colonne est dite colonne nulle si tous ses coefficients sont nuls. Elle est dite non nulle dans le cas contraire. Une matrice colonne est souvent appelée vecteur colonne.
On note R_cⁿ l’ensemble des matrices colonnes à n  lignes à coefficients réels.
On appelle matrices colonnes canoniques (ou vecteurs colonnes canoniques) les matrices colonnes e_i dont tous les termes sont nuls sauf le terme situé à la i^ème ligne, et ce dernier vaut 1

·     (b) Si n=1 et p>1 : On dit que A est une matrice ligne. Une matrice ligne est dite ligne nulle si tous ses coefficients sont nuls. Elle est dite non nulle dans le cas contraire. . Une matrice ligne est souvent appelée vecteur ligne.
On note R_l^p l’ensemble des matrices ligne à p  colonnes à coefficients réels.
On appelle matrices lignes canoniques (ou vecteurs ligne canoniques) les matrices lignes f_j dont tous les termes sont nuls sauf le terme situé à la j^ème colonne, et ce dernier vaut 1

·     (c) Si n=p=1 : La matrice A=(a₁₁) est identifiée à a₁₁

·     (d) Si i=1,…, n   j=1,…, p    a_ij = 0 : On dit que A est la matrice nulle. On la note 0_n×p
(ou 0 et on dit zéro)

·     (e) Si n=p   : On dit que A est une matrice carrée. Au lieu de dire de format n×p, on dira d’ordre n.
On note M_n(R) l’ensemble des matrices carrées d’ordre n  à coefficients réels.

·     (f) Si n=p  et i ≠j a_ij = 0 : On dit que A est une matrice diagonale. On note
A = diag(a₁₁, a₂₂,…, a_nn).

·     (g) Si A = diag(a, a,…, a) : On dit que A est une matrice scalaire.

·     (h) Si A = diag(1, 1,…, 1) : On dit que A est la matrice identité et on note A=I_n ou encore A=I. On utilisera aussi une notation pratique : A = (δ_ij) où δ_ij est le symbole de Kroneecker défini par : δ_ij = 1 si i=j   et δ_ij = 0 si i ≠j

·     (e) Si n=p et i >j a_ij = 0 : On dit que A est une matrice triangulaire supérieure

·     (j) Si n=p et i <j a_ij = 0 : On dit que A est une matrice triangulaire inférieure

 

Définition 2 : Deux matrices A=(a_ij) et B=(b_ij)  sont égales si :
(1) A et B sont de même format
(2) i=1,…, n   j=1,…, p         a_ij = b_ij

 

Remarque 1 : Soit A=(a_ij)M_n×p(R). On désigne par A_i = (a_i1 a_i2 … a_ip) les n  lignes de A et par  les p colonnes de A. La matrice A peut être considérée comme une suite finie de n lignes et notée  ou comme une suite finie de p colonnes et notée A =(A¹ A²…A^p)

I-2. Addition de matrices

Définition 3 : Etant données deux matrices A=(a_ij) et B=(b_ij) de même format, leur somme est la matrice C=(c_ij) de même format, dont le terme général c_ij est donné par :
       i=1,…, n    j=1,…, p    c_ij = a_ij+b_ij            On note : C = A+B
L’opération qui à deux matrices A et B associe leur somme C est appelée addition.

 

Proposition 1 : M_n×p(R)  muni de l’addition est un groupe commutatif

Autrement dit : l’addition est une loi de composition interne dans M_n×p(R) vérifiant les propriétés suivantes :

·     (a) L’addition est commutative : pour tout A et B éléments de M_n×p(R) A+B = B+A

·     (b) L’addition est associative : pour tout A, B et C éléments de M_n×p(R) A+(B+C)= (A+B)+C . On écrira donc  A+B+C.

·     (c) L’addition admet un élément neutre : pour tout A élément de M_n×p(R) A+0 = 0+A = A

·     (d) Toute matrice A admet une matrice opposée : AM_n×p(R) BM_n×p(R)
A+B = B+A = 0. On note B = -A.

 

I-3. Produit d’une matrice par un nombre

 

Définition 4 : Soit λR et A=(a_ij)M_n×p(R) le produit de A par λ est la matrice C=(c_ij) de même format que A, dont le terme général c_ij est donné par :
       i=1,…, n    j=1,…, p      c_ij = λa_ij         On note : C = λA
L’opération qui à une matrice A et à un réel λ associe leur produit C = λA est appelée Produit par un scalaire.

 

Proposition 2 : Soit (λ,μ)R² et A=(a_ij) et B=(b_ij) deux éléments de M_n×p(R) alors on a :

·     (a) λ(μA) = (λμ)A      on écrira  λμA

·     (b) (λ+μ)A = λA+μA

·     (c) λ(A+B) = λA+λB

·     (d) 1A = A.

 

Propriétés 1 : AM_n×p(R) on a :

·     (a) 0A = 0

·     (b) A+A+…+A = nA

·     (c) -1A = -A            ce qui permet de définir la soustraction : A-B = A+(-B)

 

Définition 5 : Soit λ₁, λ₂, … λ_k,  k nombres réels et A₁, A₂, … A_k   k éléments de M_n×p(R). L’expression λ₁A₁ + λ₂ A₂ + …+ λ_kA_k est une combinaison linéaire des A_i.

 

Définition 6 : Soit λ₁, λ₂, … λ_k,  k nombres réels et A₁, A₂, … A_k   k éléments de M_n×p(R). L’ensemble de toutes les combinaisons linéaires des A_i est appelé ensemble engendré par les A_i. On le note [A₁ ,  A₂ , …, A_k] ou encore Gen(A₁ ,  A₂ , …, A_k).

 

Définition 7 : k matrices A₁, A₂, … A_k   de M_n×p(R) sont dite liées ou linéairement dépendantes si l’une des ces matrices s’écrit comme combinaison linéaire des autres.

 

Définition 8 : Soit A₁, A₂, … A_k,  k éléments de M_n×p(R). On dit que ces k matrices sont linéairement indépendantes ou libres si :
        λ₁A₁ + λ₂ A₂ + …+ λ_kA_k  = 0  λ₁ = λ₂ = …= λ_k = 0

 

Remarque 2 : Les deux définitions précédentes se généralisent évidemment aux  lignes et colonnes d’une matrice.

I-4. Produit de matrices

 

Définition 9 : Etant données deux matrices A=(a_ij) de format n×p  et B=(b_jk) de format p×q le produit de A et B (dans cet ordre) est la matrice C=(c_ik) de format n×q dont le terme général c_ik est donné par :  i=1,…,n      k=1,…,q      On note : C = AB

Proposition 3 : Sous réserve que les conditions sur les nombres de lignes et de colonnes sont satisfaites on a les propriétés suivantes :

·     (a) 0A = A0 = 0

·     (b) La multiplication des matrices n’est pas commutative : AB≠BA (si AB=BA on dit que A et B commutent)

·     (c) La multiplication des matrices  est « associative » : A(BC)= (AB)C. On écrira donc  ABC.

·     (d) La multiplication des matrices  est « distributive » sur l’addition:
pour tout A, B et C    A(B+C)= AB+AC.

·     (e) λR  A  B     λ(AB)=(λA)B. On écrira λAB.

·     (f) Si n=p alors A=(a_ij)M_n(R).  AI_n = I_nA=A. On dit que I_n est l’élément neutre pour la multiplication.

 

 

I-5. Transposition

 

Définition 10 : Soit A=(a_ij) de format n×p . On appelle transposée de A la matrice B=(b_ij) de format p×n dont le terme général b_ij est donné par :
       i=1,…,p      j=1,…,n      b_ij = a_ji             On note : B = ^tA

Proposition 4 : Soit λR et A et B  deux matrices vérifiant les bonnes conditions sur les nombres de lignes et de colonnes. Alors on a :

·     (a) ^t(^tA)=A

·     (b) ^t(A+B)= ^tA+^tB

·     (c) ^t(λA)=λ ^tA

·     (d) ^t(AB)=^tB ^tA

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