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IV. Opérations élémentaires, matrices élémentaires

IV-1. Opérations élémentaires sur les lignes (o.e.l)

 

Définition 1 : Soit A=(a_ij)M_n×p(R). On appelle opération élémentaire de lignes L sur la matrice A l’une des trois opérations suivantes :

·     (a) Multiplier une ligne i de A par un nombre non nul α. On note L = L_i(α)

·     (b) Permuter deux lignes i et j de A . On note L = L_ij

·     (c) Ajouter à une ligne i  α fois une autre ligne j. On note L = L_ij(α)
On note L(A) la matrice obtenue à partir de A par une opération élémentaire de lignes.

 

Remarque 1 : Une opération élémentaire de lignes est une application particulière de M_n×p(R) dans lui-même.

 

Définition 2 : On appelle matrice élémentaire toute matrice obtenue à partir de la matrice identité I  par une opération élémentaire de lignes. On note E = L(I)
Si besoin on précisera : E_i (α)=L_i(α)(I)            E_ij=L_ij(I)                      E_{i j}(α)=L_ij(α)(I)

 

Proposition 1 : Soit A=(a_ij)M_n×p(R), L une opération élémentaire de lignes et E=L(I). Alors L(A)=EA

 

Définition 3 : Soit A=(a_ij)M_n×p(R), L et L’ deux opérations élémentaires de lignes. La composée de L et L’, dans cet ordre, est une opération sur les lignes obtenue par composition des applications de M_n×p(R) dans lui-même : L’οL(A) = L’(L(A))
On note L’L et on généralise à la composée de k opérations élémentaires de lignes :
       L_kοL_k-1 … L₂οL₁(A) = L_kL_k-1 … L₂L₁(A) = L_k(L_k-1 … (L₂(L₁(A)) …)

 

Remarque 2 : Si E_i  sont les matrices élémentaires correspondants aux opérations élémentaires de lignes L _i alors : L_kL_k-1 … L₂L₁(A) = E_kE_k-1 … E₂E₁A

 

Proposition 2 : Les opérations élémentaires de lignes sont inversibles et on a :
L_i(α)         a pour inverse             L_i(β)  avec β=1/α
L_ij               a pour inverse             L_ij
L_ij(α)        a pour inverse             L_ij(-α)

 

Proposition 3 : Les matrices élémentaires sont inversibles

 

Proposition 4 : Si E_i  sont les matrices élémentaires alors (E_kE_k-1…E₂E₁)^-1=E₁^-1E₂^-1 …E_k-1^-1E_k^-1

 

Définition 4 : Une matrice A est ligne-équivalente à une matrice B si B peut être obtenue à partir de A par un nombre fini d'opérations élémentaires de lignes   (B = L_kL_k-1 … L₂L₁(A)). On note  

 

Remarque 3 (fondamentale):  si et seulement si il existe  une matrice P produit d’un nombre fini de matrices élémentaires telle que B=PA

 

Remarque 4 : P  est inversible et, en général, n’est pas unique.

 

Proposition 5 : La ligne-équivalence est une relation d’équivalence.

 

Remarque 5 : La proposition précédente permet de parler de « deux matrices ligne-équivalentes ».

 

Proposition 6 : Soit A et B deux matrices ligne-équivalentes alors

·     (a) les lignes de B sont des combinaisons linéaires des lignes de A

·     (b) pour toute matrice C telle que les produits AC et BC soient définis, AC et BC sont ligne-équivalentes

 

Proposition 7 : Soit A et B deux matrices ligne-équivalentes alors la même séquence d’opérations élémentaires de lignes qui transforme A en B transforme I en P telle que B=PA. En particulier si  alors P est un inverse à gauche de A . En pratique il suffit d’appliquer successivement les opérations élémentaires de lignes sur la matrice augmentée (AI) pour la transformer en (BP).

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