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VIII. Structures élémentaires
VIII-1. Généralités
Définition 1 : Un monoïde est un ensemble E
muni d’une loi de composition interne associative et admettant un élément neutre e
Un monoïde commutatif ou abélien est un monoïde dont la loi est commutative.
Définition 2 : Un groupe est un monoïde dont tous les éléments sont
symétrisables.
Un groupe commutatif ou abélien est un groupe dont la loi est commutative.
Définition 3 : Un anneau est un triplet (A,+,.) formé d’un ensemble A et de deux lois de composition internes notées additivement + et multiplicativement ., et vérifiant :
· (A,+) est un groupe abélien
· (A,.) est un monoïde
· La loi . est distributive sur la loi +.
Un anneau commutatif est un anneau dont la multiplication est commutative.
Définition 4 : Un corps est un anneau (A,+,.) tel que 1≠0 et dans lequel chaque élément non nul est
inversible.
Un corps commutatif est un corps dont la multiplication est commutative.
Définition 5 : Un treillis est un triplet (T,+,.) formé d’un ensemble T et de deux lois de composition internes notées additivement + et multiplicativement ., et vérifiant :
· Les deux lois sont associatives et commutatives
·
Les deux lois vérifient les propriétés d’absorption
:
a) x
T
y
T
x+x.y = x
b) x
T
y
T
x.(x+y) = x
Remarque 1 : cette définition d’un treillis est équivalente à la définition 20 du III-4.
VIII-2. Morphismes
Définition 1 : Soient E et F deux ensembles munis respectivement
des lois de composition internes et
. Soit f une application de E
dans F. On dit que f est un morphisme si :
(x,y)
E2 f(x
y)
= f(x)
f(y)
Proposition 1 : Le composé de deux morphismes, quand il est défini, est un morphisme.
Définition 2 : Soient (E, ) et (F,
) deux monoïdes d’éléments
neutres respectifs e et e’. Un morphisme de monoïdes f est un morphisme vérifiant : f(e)
= e’
Proposition 2 :
· Le composé de deux morphismes de monoïdes, quand il est défini, est un morphisme de monoïdes.
· Si x est un élément symétrisable de E de symétrique x’ alors f(x) est symétrisable et de symétrique f(x’). On écrit (f(x))’=f(x’).
Définition 3 : Soient (G1,
) et (G2,
) deux groupes. Un morphisme
de groupes f est un morphisme de
monoïdes de (G1,
) dans (G2,
).
Définition 4 : Soient (A1,+1,.1) et (A2,+2,.2) deux anneaux. Un morphisme d’anneaux f est un morphisme de groupes de (A1,+1) dans (A2,+2) et un morphisme de monoïdes de (A1,.1) dans (A2,.2).
Proposition 3 : Le composé de deux morphismes d’anneaux, quand il est défini, est un morphisme d’anneaux.
Définition 5 : Un morphisme de corps f est un morphisme d’anneaux entre les deux corps.
Définition 6 : Soit E1 un ensemble muni d’une structure algébrique, on appelle endomorphisme f de E1 un morphisme de E1 dans E1 pour cette structure. Si E2 est un autre ensemble muni de la même structure que E1 , un morphisme f de E1 dans E2 est appelé isomorphisme si f est un morphisme de E1 dans E2 bijectif. Un morphisme f de E1 dans E1 est appelé automorphisme si f est un morphisme de E1 dans E1 bijectif.