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VII Lois de composition

VII-1. Généralités

 

Définition 1 : Une loi de composition interne dans un ensemble E est une application de E×E dans E qui à tout couple (x,y) de E associe un élément z de E noté xy.
Souvent on écrit x.y (ou encore xy) et on dit que la loi de composition est multiplicative et dans ce cas z est appelé produit de x et y.
on écrit aussi x+y et on dit que la loi de composition est additive et dans ce cas z est appelé somme de x et y.
On note (E, ) un ensemble E muni d’une loi de composition interne .

 

Remarque 1 : Soit (E, ) un ensemble E muni d’une loi de composition interne  et soit
 (x1, x2, x3, … , xn) une suite finie d’éléments de E. On définit la composition de ces n éléments par récurrence sur n, en posant : x1x2x3… xn = x1(x2x3… xn).
En notation multiplicative on écrira : .
En notation additive on écrira : .
Si x1 = x2 = x3 = … = xn on écrira xn (multiplicativement) et nx (additivement).

 

Définition 2 : Soit (E, ) et AE. On dit que A est stable pour la loi  si (x,y)A2 xyA.
Autrement dit l’application de A×A dans A qui à tout couple (x,y) de A associe l’élément xy  de A est une loi de composition interne dans A.

 

Définition 3 : Une loi de composition interne  définie dans un ensemble E est associative si (x,y,z)E3 (xy) z = x(yz).

 

Proposition 1 : Soit (x1, x2, x3, … , xn) une suite finie d’éléments de E muni d’une loi de composition interne . Partageons la en k suites partielles :
(x1, x2, x3, … , xp) ; (xp+1, x p+2, x p+3, … , xq) ; … ; (xr+1, x r+2, x r+3, … , xn) et posons :
y1 = (x1x2x3 … xp) ; y2 = (xp+1x p+2… xq) ; … ; yk = (xr+1x r+2x r+3, … xn). Alors si  est associative alors x1x2x3… xn = y1y2y3… yk.

 

Corollaire 1 : Soit (x1, x2, x3, … , xn) une suite finie d’éléments de E muni d’une loi de composition interne . Si la loi  est associative alors

·     x1x2x3 … xn = (x1x2x3 … xn-1)xn (multiplicativement)

·     x1+x2+x3+ … +xn = (x1+x2+x3+ … +xn-1) +xn (additivement)

·     Si (p,q)N*×N* alors xE  xpxq = xp+q        et   (xp)q = xpq   (multiplicativement)
xE  px+qx = (p+q)x   et   q(px) = (qp)x    (additivement)

 

Définition 4 : Une loi de composition interne  définie dans un ensemble E est commutative si (x,y)E2 xy = yx.

 

Proposition 2 : Si une loi de composition interne est associative et commutative alors le composé de n éléments de E est indépendant de l’ordre des facteurs.

 

Définition 5 : Etant donnée une loi de composition interne  définie dans un ensemble E, un élément e de E est appelé élément neutre pour  si xE xe = ex = x.

 

Proposition 3 : Si une loi de composition interne admet un élément neutre alors il est unique.

 

Notation 1 :

·      En écriture multiplicative on note 1 l’élément neutre (s’il existe) et xE on note x0 = 1.

·     En écriture additive on note 0 l’élément neutre (s’il existe).

 

Définition 6 : Si E possède un élément neutre e pour la loi , on dit qu’un élément x de E est symétrisable pour la loi  s’il existe un élément x’ de E tel que xx’ = x’x = e.

 

Proposition 4 : Soit (E, ) un ensemble E muni d’une loi de composition interne  associative et admettant un élément neutre e alors pour tout x élément de E, il existe au plus un élément x’ de E tel que xx’ = x’x = e.

 

Définition 7 : Soit (E, ) un ensemble E muni d’une loi de composition interne  associative et admettant un élément neutre e alors si x est un élément symétrisable de E, l’unique élément x’ de E tel que xx’ = x’x = e est appelé symétrique de x pour la loi .

·     En écriture multiplicative le symétrique x’ d’un élément x de E est appelé inverse de x et noté x-1.

·     En écriture additive le symétrique x’ d’un élément x de E est appelé opposé de x et noté -x.

 

Proposition 5 : Soit (E, ) un ensemble E muni d’une loi de composition interne  associative et admettant un élément neutre e alors si x et y sont deux éléments symétrisables de E, alors le composé xy est symétrisable et admet y’x’ pour symétrique.

 

Corollaire 2 :

·     Si x1, x2, x3, … , xn sont symétrisables alors : x1x2x3 … xn est symétrisable et (x1x2x3 … xn)’ = x’nx’ n -1 … x’1

·     Si x est symétrisable et si nN alors xn est symétrisable et (xn)’ = (x’)n.

 

Définition 8 : Soit un ensemble E muni de deux lois de composition internes  et .

·     On dit que la loi  est distributive à gauche sur la loi si
(x,y,z)E3    x(yz) = (xy)  (xz).

·     On dit que la loi  est distributive à droite sur la loi  si
(x,y,z)E3    (yz) x = (yx)  (zx).

·      On dit que la loi  est distributive sur la loi  si elle est distributive à droite et à gauche sur .

 

Définition 9 : Soient E et K deux ensembles. On appelle loi de composition externe sur E admettant K pour ensemble d’opérateurs une application u de K×E dans E.
On note λ.x l’image par u de (λ,x) K×E.

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