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IX. Groupes
IX-1. Généralités
Définition 1 : (Rappel) Un groupe est un monoïde (G, ) dont tous les éléments
sont symétrisables.
Un groupe commutatif ou abélien est un groupe dont la loi est commutative.
Si G contient un nombre fini
d’éléments, on appelle ordre du groupe ce nombre d’éléments et on note O(G). Dans ce cas on peut représenter toutes les compositions à
l’aide d’un tableau appelé table de Pythagore du groupe.
Définition 2 : Etant donnés un groupe (G,
) d’élément neutre e et H
une partie de G, on dit que H est un sous-groupe de G si on a :
·
eH
·
(x,y)H2
x
y
H
·
xH
x’
H (x’ symétrique de x)
Remarque 1 : Tout sous-groupe est un groupe pour la même loi (induite)
Proposition 1 : Une partie H d’un ensemble G est un sous-groupe du groupe (G, ) si et seulement si (x,y)
H2
x
y’
H (y’ symétrique de y)
Proposition 2 : Si H1, H2, … Hn sont n sous-groupes d’un groupe (G,
) alors
est un sous-groupe de (G,
).
Remarque 2 : Soit (G, ) un groupe (on adoptera une
notation multiplicative). Tout sous-groupe de G contenant x contient
nécessairement x2, x3, … xn, x-1, x-2,
… x-n
ainsi que l’élément neutre e, il
contient donc l’ensemble H = {x, x2,
x3, … xn, e, x-1, x-2, … x-n…}
Définition 3 : Soit (G, ) un groupe et x un élément de G. L’ensemble H = {x, x2,
x3, … xn, e, x-1, x-2, … x-n…} est le plus petit sous-groupe, au sens de
l’inclusion, contenant x. On
l’appelle le sous-groupe engendré par x.
Théorème 5 : Soit (G, ) un groupe et H un sous-groupe de (G,
). On considère la relation
binaire R définie sur G
par :
(x,y)
G2 xRy
x’
y
H (x’ symétrique de x). Alors
· R est une relation d’équivalence
·
La classe de x
selon R est xH.
où x
H={y
G tel que
z
G tel
que y=x
z}
Remarque 3 : Si on considère la relation (x,y)
G2 xRy
y
x’
H on a un résultat analogue au précédent
avec H
x
au lieu de x
H.
Les ensembles de la forme x
H
s’appellent classes à gauche selon H;
les ensembles de la forme H
x
s’appellent classes à droite selon H.
Dans un groupe commutatif, on parle simplement de classes selon H.
Théorème 6 : Soit (G, ) un groupe d’ordre fini et H un sous-groupe de (G,
). Alors l’ordre de H divise l’ordre de G.
Corollaire 1 : Dans un groupe (G, ) d’ordre premier, les seuls
sous-groupes sont G et {e}.
Définition 5 : Soit (G, ) un groupe d’élément neutre
e et x un élément de G. On
appelle ordre de x le plus
petit entier naturel r (s’il existe)
tel que x
x
…
x = e (r fois). Si un tel entier n’existe pas on dit que x est d’ordre infini. On
note O(x) l’ordre de x.
Théorème 7 : Soit (G, ) un groupe d’élément neutre
e et x un élément de G d’ordre
O(x). Alors
· Si O(x) = r alors O(x’) = r (x’ symétrique de x).
· Si O(x) = r alors xp = e si et seulement si r divise p.
· Si y = a’xa pour x, y, a de G alors x et y ont le même ordre.
IX-2. Homomorphismes de groupes
Définition 6 : (Rappel) Soient (G1,
) et (G2,
) deux groupes. un morphisme
de groupes f est un morphisme de
monoïdes de (G1,
) dans (G2,
).
Remarque 4 : (Rappel) Soient (G1,
) et (G2,
) deux groupes d’éléments
neutres respectifs e1 et e2. On peut définir un
morphisme de groupes f de (G1,
) dans (G2,
) simplement par :
(x,y)
G12 f(x
y)
= f(x)
f(y). On a alors
· f(e1) = e2
·
xG1 f(x’) = f(x)’ et
n
Z
f(xn)=f(x)n (en notation multiplicative) ou
n
Z
f(nx)=nf(x) (en notation additive).
Théorème 8 : Soit f un morphisme de groupes de (G1,
) dans (G2,
). Alors :
· f(G1) est un sous-groupe de G2.
·
f -1(e2) est un sous-groupe de G1. e2 étant l’élément neutre de (G2, ).
Définition 7 : f -1(e2) est appelé noyau de f.
Théorème 5 : Soit f un morphisme de groupes de (G1,
) dans (G2,
) et N le noyau de f. Alors :
·
Si x et y sont deux éléments de G1 alors la relation f(x)
= f(y) équivaut à yx
N
·
f est injective si et
seulement si N = {e1}. e1 étant l’élément neutre de (G1, ).
IX-3. Groupes symétriques : (Ce complément ne sera pas traité en séance ordinaire de cours)
Soit E un ensemble de n éléments numérotés 1, 2, 3, …, n. On note : E = {1, 2, 3, …, n}
Définition 7 : On appelle permutation de E
toute bijection de E sur E.
f(1) = a1 f(2) = a2 f(n)
= an où pour tout i aiE
et
i≠j ai≠aj
On convient de représenter une permutation par :
Définition 8 : On appelle transposition de E toute permutation de E échangeant exactement deux éléments de E. (On dit aussi cycle d’ordre 2)
Remarque 5 : Une telle représentation d’une permutation est indépendante de l’ordre d’écriture des éléments de E.
Théorème 6 : Il y a n! permutations de E = {1, 2, 3, …, n}
Notation 2 : On désignera par Sn l’ensemble des n! permutations de E = {1, 2, 3, …, n}
Théorème 7 : (Sn,ο) est un groupe.
Définition 9 : Le groupe (Sn,ο) est appelé groupe symétrique d’ordre n.
Théorème 8 : Toute permutation est un produit (une composition) de transpositions.