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IV. Vocabulaire ensembliste

IV-1. Généralités

Une présentation axiomatique de la théorie des ensembles dépasse largement le niveau de ce cours. On ne peut la trouver dans aucun des livres cités dans la bibliographie ci-jointe.

 

Notions primitives:
On considère la notion “ intuitive ” (naïve) d’un ensemble comme étant une collection d’objets (mathématiques) appelés éléments  de cet ensemble.
On considère comme primitives les notions d’appartenance et d’égalité.

Si E est un ensemble et x un élément de E, on note xE et on lit “ x appartient à E ”.

Si x et y sont deux éléments d’un ensemble E, l’écriture x=y signifie que les lettres x et y désignent le même élément et on lit “ x est égale à y ”.

Par commodité on utilisera deux autres symboles :  et ≠

aE          : a n’est pas élément de E (ou “ a n’appartient pas à E ”)

a≠b                       : a n’est pas égal à b (ou “ a est différent de b ”)

Lorsque cela est possible on écrira un ensemble en donnant (en énumérant) tous ses éléments entre accolades : {a , b , c}. On dit que l’on a une définition en extension de l’ensemble. L’ordre d’écriture des éléments entre accolades est arbitraire et chaque élément n’y figure qu’une seule fois.
Souvent on donne un nom à l’ensemble en lui affectant une étiquette : E = {a, b, c}.
On distingue deux cas particuliers :

Le singleton : {a}.

La paire : {a,b}.

L’écriture en extension se généralise à un ensemble défini par induction : E = {a, b,…}.
On peut aussi définir un ensemble en caractérisant ses éléments par une proposition p. On dit que l’ensemble E est défini en compréhension (ou en intention) et on note E = {x  p}. “ E est l’ensemble des éléments pour lesquels la proposition p est vraie ”. Cependant ce dernier cas est à considérer avec précaution. Il peut mener à des paradoxes.

 

Définition inductive (récursive) : Une définition inductive d’ensembles est la donnée de trois clauses :

·       Clause 1 : la base. Elle établit que certains objets sont des éléments de l’ensemble à définir. Ceci sous-entend que l’ensemble n’est pas vide et que l’on a une idée primitive de ce qu’on veut définir. On se donne les éléments de base qui serviront à « construire » l’ensemble.

·       Clause 2 : la clause d’induction. Elle établit les règles qui permettent de construire de nouveaux éléments à partir d’autres (notamment des éléments de base). On parle de règles de « production ».

·       Clause 3 : la clause extrême (clause de clôture). Elle affirme que seuls les objets construits en appliquant un nombre fini de fois les clauses (1) et (2) sont éléments de l’ensemble.

 

Remarque 1 : La clause de clôture peut s’énoncer sous l’une des formes équivalentes suivantes :

·       Nul objet n’est élément de l’ensemble s’il n’est obtenu par un nombre fini d’applications des clauses (1) et (2).

·       L’ensemble ainsi défini inductivement est le plus petit (au sens de l’inclusion) ensemble satisfaisant les clauses (1) et (2).

·       L’ensemble ainsi défini inductivement est égal à l’intersection de tous les ensembles vérifiant les propriétés spécifiées par les clauses (1) et (2).

Deux ensembles E et F sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes éléments (axiome d’extensionalité). On note E = F.

Un ensemble ne contenant aucun élément est dit vide. Il n’y a qu’un tel ensemble, on l’appelle l’ensemble vide et on le note :

Une partie ou  sous-ensemble A d’un ensemble E est un ensemble formé par des éléments de E. On note A  E et on lit “ A est inclus dans E ” ou  “ A est contenu dans E ” ou encore   
“ E contient A”.
On distingue deux cas particuliers :   E et E  E.

 

IV-2. Opérations ensemblistes

Etant donné un ensemble E, les parties de E forment un ensemble, noté P(E) (axiome).
On a :  AP(E)  AE. en particulier : P(E) et EP(E).

 

Propriétés 2 : Si E contient n éléments alors P(E) contient 2ⁿ éléments

 

IV-2-1 Complémentaire

 

Définition 1 : Soit AP(E), on appelle complémentaire de A dans E et on note E \ A la partie de E définie par E \ A = {xE  xA}. (On note aussi A’ ou  )

 

Propriétés 1 : E \ =E          E \ E=          E \ (E\ A)=A.

 

 

IV-2-2 Intersection

 

Définition 2 : Soit A et B deux éléments de P(E). On appelle intersection de A et B et on note
A∩B la partie de E définie par A∩B={xE  (xA)(xB)}.
Si A∩B= on dit que A et B sont disjoints.

 

Propriétés 2 :

A∩B=B∩A                                   commutativité

A∩(B∩C)=(A∩B)∩C)   associativité

A∩=                          est un élément absorbant

A∩E=A                             E est un élément neutre

A∩A=A                              idempotence

A∩BA et B∩AB

Si AB  et AC  alors AB∩C

Si AB  et CD  alors A∩CB∩D

AB  si et seulement si  A=A∩B

A∩(E \ A)= 

 

Généralisation :
Soit A1 , A2 , A3 ,…, An    n parties de E. On appelle intersection des Ai et on note   la partie de E définie par :  ={xE  (xA1)(xA2)…(xAn)}

 

IV-2-3 Union (réunion)

 

Définition 3 : Soit A et B deux éléments de P(E). On appelle réunion (union) de A et B et on note AB la partie de E définie par AB={xE  (xA)(xB)}.

 

Propriétés 3 :

AB=BA                                   commutativité

A(BC)=(AB)C)   associativité

A=A                            est un élément neutre

AE=E                             E est un élément absorbant

AA=A                              idempotence

AAB et BBA

Si AC  et BC  alors ABC

Si AB  et CD  alors ACBD

AB  si et seulement si  B=AB

A(E \ A)=E

 

Généralisation :
Soit A1 , A2 , A3 ,…, An    n parties de E. On appelle union des Ai et on note   la partie de E définie par :  ={xE  (xA1)(xA2)…(xAn)}

 

Proposition 1 : A, B et C sont des éléments de P(E). On a :

A(B∩C)=(AB)∩(AC)                  distributivité de l’union sur l’intersection

A∩(BC)=(A∩B)(A∩C)                  distributivité de l’intersection sur l’union

et de façon générale :

   

 

 

IV-2-4 Recouvrement et partition

 

Définition 4 : n parties non vides A1 , A2 , A3 ,…, An de E constituent un recouvrement de E si et seulement si   =E.
Si en plus les  Ai sont deux à deux disjoints on dit que ces n parties constituent une partition de E.

 

IV-2-5 Produit cartésien

 

Définition 5 :  E et F sont deux ensembles, tous les couples (x,y) où xE et yF constituent  un ensemble (axiome) appelé produit (cartésien) de E et F. On note E×F.
Les éléments x et y s’appellent composantes ou coordonnées du couple (x,y).

 

Remarque 2:

Un couple (x,y) est ordonné, l’égalité de deux couples se définit par l’égalité de leurs composantes correspondantes : (x,y) = (x’,y’)  (x=x’)(y=y’)

Si l’un des ensembles E ou F est vide alors E×F=
Si E=F l’ensemble E×E sera noté E2.

 

Généralisation:
Etant donnés  n ensembles  E1 , E2 , E3 ,…, En leur  produit (cartésien) est l’ensemble de tous les n-uples ordonnés (x1, x2, x3,…, xn) où  i=1, 2, … ,n   xi  Ei. On note
Dans le cas particulier où tous les Ei sont égaux à E on note En

 

IV-3. Ensembles finis

 

Définition 6 : Un ensemble est dit fini s’il contient exactement n éléments distincts, n étant un entier naturel. Si un ensemble n’est pas fini on dit qu’il est infini.
(Ces deux notions seront étudiées en détail et généralisées plus loin)
On note #(E) le nombre d’éléments d’un ensemble fini E.

 

Lemme 1 : Si A et B sont deux ensembles finis disjoints alors AB est aussi fini et on a :
                   #( AB) = #(A) +  #(B)

 

 

Corollaire 1 : Si A, B et C sont trois ensembles finis alors il en est de même de A∩B, A∩C,
C∩B et de A∩B∩C, et on a :
       #(ABC) = #(A) +  #(B) + #(C) - #(A∩B) - #(A∩C) - #(C∩B) + #(A∩B∩C)

 

Principe d’inclusion-exclusion  :
Le nombre d’éléments de n ensembles peut se calculer de la manière suivante :

(1) Calculer la somme S des nombres d’éléments de chacun des n ensembles

(2) Calculer la somme des nombres d’éléments de l’intersection de chaque couple d’ensembles et soustraire cette somme à S et obtenir T

(3) Calculer la somme des nombres d’éléments de l’intersection de chaque triplet d’ensembles et ajouter cette somme à T et obtenir U

(4) Calculer la somme des nombres d’éléments de l’intersection de chaque quadruplet d’ensembles et soustraire cette somme à U et obtenir V
                                                      :
Continuer ainsi en alternant soustraction et addition en considérant les différentes intersections des p-uples jusqu’à la neme étape.

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