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V. Applications
V-1. Généralités
Dans toute la suite E, F et G désignent trois ensembles.
Définition 1 : On appelle correspondance
fonctionnelle de E vers F une partie C de l’ensemble produit E×F telle que pour tout x de E
il existe un et un seul y de F tel que (x,y)C.
Remarque 1 : Souvent on peut représenter une correspondance fonctionnelle par un diagramme sagittal, par un diagramme cartésien ou encore par une matrice.
Définition 2 : On appelle application f de E
dans F la donnée d’un triplet (E, F,
C ) où E et F sont deux
ensembles et C une correspondance
fonctionnelle de E vers F.
E est appelé domaine de définition
de f (on dit aussi source ou ensemble de
départ)
F est appelé codomaine de f (on dit aussi but ou ensemble
d’arrivée)
C est appelé graphe de f
Notation 1 : si f est une application de E
dans F on écrit : f : E
→ F
Pour tout x de E, si y est l’élément de F pour lequel (x,y)C on écrit y = f(x) et on dit que y est l’image de x
par f et que x est un antécédent de y
par f. On note : f : x → y = f(x).
Les applications de E dans F forment un ensemble que l’on note F(E,F) ou encore FE.
Définition 3 : On dit que deux applications f et g de E dans F sont égales si (x
E) f(x)=g(x)
et on note f = g.
Cas particuliers :
Si E=F l’application
identique ou identité est l’application de E dans E notée IdE et définie par : (
x
E) IdE(x)=x
S’il n’y a pas d’ambiguïté sur E on
note plus simplement
Si A
P(E) et F={0,1} on appelle fonction
caractéristique de A ou indicatrice
de A l’application de E dans F, notée χA et définie par :
Si pour tout x de E
on a f(x) = y0 où y0 est un élément donné de F, on dit que f est constante.
Définition 4 : Soit fFE, A
P(E) et B
P(F)
On appelle image directe de A par f et on note f(A) l’ensemble :
f(A)={ yF | (
x
A) (y=f(x))}
Si A=E f(E) est appelé image
de f et noté Imf.
On appelle image réciproque de B
par f et on note f -1(B) l’ensemble :
f -1(B)={xE | f(x)
B}
Remarque 2 : Si F’ est une partie de F
telle que f(E)F’, on peut définir une nouvelle
application
en posant pour tout x
E
on dit alors que
est l’application induite par f. Par abus de notation on la note
aussi f, mais attention aux confusions
!
Propriétés 1 : Soit fFE, A
P(E) , B
P(E) , C
P(F) et D
P(F)
A
f -1(f(A))
A
B
f(A)
f(B)
f(A
B)=f(A)
f(B)
f(A∩B)
f(A)∩f(B)
f(f -1(C))
C
C
D
f -1(C)
f -1(D)
f -1(C
D)=f -1(C)
f -1(D)
f -1(C∩D)=f -1(C)∩f -1(D)
V-2. Composition des applications
Définition 5 : Soit E, F et G trois ensembles, fFE et g
GF
On appelle composée de f
et g on note gοf l’application de E dans G définie par :
(x
E) (gοf)(x)=g(f(x))
Remarque 3 :
En général gοf
et fοg
n’existent pas toutes les deux
Si elles existent et si E ≠ F elles n’appartiennent pas au même
ensemble
Si E=G gοf et fοg
existent toujours et appartiennent au même ensemble mais en général elles ne
sont pas égales.
Proposition 1 : Soit E, F, G et H
quatre ensembles, fFE , g
GF et h
HG On a :
(hοg)οf=hο(gοf) associativité
fοIdE=IdFοf=f (IdE: élément neutre à
droite ; IdF: élément neutre à gauche)
V-3. Injection, surjection et bijection
Définition 6 : Une application f : E
→ F
est injective (ou est une injection) de E dans F si tout élément y de F
admet au plus un antécédent.
une application f : E → F est surjective (ou est une surjection)
de E sur F si tout élément y de F admet moins un antécédent.
une application f : E → F est bijective (ou est une bijection)
de E dans F si tout élément y de F admet un et un seul antécédent. (f est à la fois injective et
surjective).
Définition 7 : Soit E et F deux ensembles et AP(E).
L’application iA : A → E définie par : (
x
A) iA(x) = x est injective et
on l’appelle l’injection canonique de A
dans E.
Soit f : E → F . L’application fοiA : A → F est appelée la restriction de f à A.
On la note f/A
Proposition 2 : Soit E, F et G trois ensembles, f FE et g
GF. Alors on a :
Si f et g sont injectives,
alors gοf est
injective.
Si gοf est injective, alors f est injective.
Si f et g sont surjectives,
alors gοf est
surjective.
Si gοf est surjective, alors g est surjective.
Proposition 3 : Soit E et F deux ensembles et f FE.
Alors les conditions suivantes sont équivalentes :
f est bijective
Il existe une application g : F
→ E et
une seule telle que l’on ait gοf = IdE et fοg = IdF .
Définition 8 : Soit E et F deux ensembles et f FE bijective. On appelle application
réciproque de f et on note f -1 l’unique application de F dans E vérifiant : f -1οf = IdE et fο f -1 = IdF .
V-4. Applications inverses
Définition 9 : Soit f : E → F et g : F → E deux applications telles que la composée gοf soit définie. Si gοf=IdE on dira que f est un inverse à droite de g et que g est un inverse à gauche de f . Si gοf=IdE et fοg=IdF on dira que f est un inverse de g (et par conséquent g est un inverse de f ).
Théorème 3 : Une application (dont le domaine de définition est non vide) est injective si, et seulement si, elle admet un inverse à gauche et surjective si, et seulement si, elle admet un inverse à droite.
Corollaire 2 : Soit f : E → F alors les propriétés suivantes sont équivalentes :
f est bijective
f admet à la fois un inverse à gauche g et un inverse à droite h.
f admet une application réciproque.
Quand c’est le cas, deux inverses quelconques (à gauche, à droite ou bilatères)
de f sont égaux. L’unique inverse de f (noté f -1) est bijective et (f -1)-1=f.