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III. Raisonnements & Démonstrations
Méthodes et recettes
III-1. Arguments
Définition 5 : On appelle argument (logique) la donnée d’une e.b.f de la forme
P→Q où
P est la conjonction d’un nombre
finie de propositions p1, p2, p3,… , pn appelées prémisses
et où Q est une proposition
(composée) appelée conclusion.
Si P→Q
est une tautologie on dit que l’argument est valable, sinon on dit que
l’argument est non valable.
On note p1, p2, p3,… , pn Q
un tel argument.
Remarque 3 : Sachant qu’un argument est valable si PQ il suffit alors pour qu’il le soit que
la proposition Q soit vraie dans tous
les cas où toutes les prémisses le sont.
Quelques arguments classiques valables :
p, p→q
q Modus ponens (loi de
détachement)
p→q, q→r
p→r Loi des syllogismes
p→p
p Loi de Clavius (consequentia
mirabilis)
p
q→p Vernum
sequitur ad quoldibet
p→q,
q
p Modus tollens
(p→q)→p
p Loi
de Peirce
(p
q)
p
q Modus ponendo tollens
III-2. Démonstrations
Les étapes d'une
démonstration :
Ø Réduction
de la conclusion :
A l'aide des connecteurs logiques et des quantificateurs, on ramène la
conclusion à l'une des trois formes suivantes :
(1) (x) A(x)
(2) (x) A(x)
(3) A (ne commence pas par un quantificateur)
où A et A(x) sont elles-mêmes de
l'une des trois formes précédentes.
Exploitation des hypothèses :
On désigne les hypothèses de base par HB, les hypothèses de déclaration par HD
et les hypothèses secondaires par HS.
La présence d'un quantificateur existentiel dans une hypothèse en fait une
hypothèse de déclaration. La présence d'un quantificateur universel dans une
hypothèse demande la déclaration préalable d'objets mathématiques.
Ø Conclusion : Synthèse et énoncé clair du résultat. On note C la conclusion
Démonstration directe :
Principe : Etablir la validité de
l’argument : H C.
Méthode : Hypothèses : HB, HD, HS
Conclusion : C.
Utilisation : Cas général.
Démonstration par l'absurde
:
Principe : Rajouter aux axiomes de base les hypothèses données et la négation de la conclusion à démontrer pour obtenir un système contradictoire.
Méthode : Hypothèses : H hypothèses de bases et C
hypothèse absurde
Conclusion :
proposition contradictoire avec le système (hypothèses et axiomes).
Utilisation : A utiliser dans le cas où la
proposition (C)
est plus "facile" à traduire que la proposition (C), mais aussi dans
certaines démonstrations d'existence.
Démonstration par
contraposée : (à
ne pas confondre avec la précédente)
Principe : (PQ)
(
Q
P).
Méthode : Hypothèses : C
hypothèse de base
Conclusion : H
Utilisation : A utiliser dans le cas où les propositions contraires sont plus facilement utilisables que les propositions directes.
Démonstration par disjonction
des cas :
Principe : ((AB)
C)
((A
C)
(B
C))
Méthode : Hypothèses : H=(H1 ou H2) hypothèses
de base
Conclusion : C
Utilisation : A utiliser dans le cas où on peut substituer à une démonstration globale deux (ou plus) démonstrations partielles..
Démonstration d'existence :
Ø Démonstration d'existence pure :
affirme l'existence sans
donner de forme explicite.
Ø Démonstration par construction :
On suppose l'existence de
l'objet et on travaille par condition nécessaire et suffisante.
Démonstration par
récurrence:
Rappel : N muni de la relation est un ensemble totalement ordonné. Toute partie non vide admet un plus petit élément.
Principe de récurrence 1 :
De (1) P(n0) (base)
Et de (2) Si P(n) alors P(n+1) pour un nN quelconque (pas d’induction ou hérédité)
On déduit P(n) pour tout n≥n0.
Principe de récurrence 2 :
De (1) P(n0)
Et de (2) pour un nN quelconque si P(k)
k≤n
alors P(k+1)
On déduit P(n) pour tout n≥n0.