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Travaux Dirigés N°5
EL METHNI M.
EXERCICE I : (On reprend l’exercice I du TD2, du TD3 et du TD4)
Afin d'établir un rapport éventuel entre l'âge et les loisirs un psychosociologue enquête auprès d'une population de 20 personnes et obtient les informations suivantes :
Notations S : Sport C : Cinéma T : Théâtre L : Lecture
|
Sujet |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
X: Age |
12 |
14 |
40 |
35 |
26 |
30 |
30 |
50 |
75 |
50 |
30 |
45 |
25 |
55 |
28 |
25 |
50 |
40 |
25 |
35 |
|
Y: Loisir |
S |
S |
C |
C |
S |
T |
T |
L |
L |
L |
T |
C |
C |
C |
S |
L |
L |
C |
T |
T |
1) Calculer la variance et l’écart-type des âges X. Ce calcul est à faire en utilisant
les fonctions statistiques d’une calculatrice.
2) On considère le tri à plat (voir
exercice I TD2).
|
xi |
12 |
14 |
25 |
26 |
28 |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
55 |
75 |
|
|
ni |
1 |
1 |
3 |
1 |
1 |
3 |
2 |
2 |
1 |
3 |
1 |
1 |
20 |
|
fi |
0,05 |
0,05 |
0,15 |
0,05 |
0,05 |
0,15 |
0,1 |
0,1 |
0,05 |
0,15 |
0,05 |
0,05 |
|
a) Calculer la variance et l’écart-type de X en utilisant les deux premières lignes
du tableau.
b) Calculer la variance et
l’écart-type de X en utilisant la
première et dernière ligne du tableau. Comparer et commenter
|
S |
C |
T |
L |
|
12 |
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) On reprend le tableau (à 2 dimensions) donnant la distribution de l’âge par type de loisir.
Calculer la variance des âges par type de loisir. Peut-on retrouver la variance et l’écart-type des âges des 20 sujets à partir de ces 4 variances par type de loisir ? (Question ouverte dont la réponse sera traitée ultérieurement)
EXERCICE III :
|
Groupes |
A |
B |
C |
D |
E |
|
Moyenne |
87 |
75 |
86 |
87 |
75 |
|
Ecart-type |
12 |
4 |
11 |
22 |
20 |
Cinq collèges A, B, C, D et E participent à une
rencontre sportive scolaire. Chaque collège présente un groupe (que l’on
désigne par la même lettre que son collège) d’élèves sportifs. Ces cinq groupes
sont formés par un même nombre de participants. Une note finale sur 100 est
attribuée à chaque participant. Cette note est synthétisée à partir des
différentes épreuves de la rencontre. Elle mesure la performance globale du
participant.
1) Si on vous demande de désigner
les groupes qui se ressemblent le plus du point de vue de la performance
lesquels choisiriez-vous ? Et pour quelle(s) raison(s) ?
2) Si on vous demande de désigner le
groupe contenant le plus de participants performants lesquels
choisiriez-vous ? Et pour quelle(s) raison(s) ?
3) Si on vous demande de désigner le
groupe contenant les participants les plus performants lequel
choisiriez-vous ? Et pour quelle(s) raison(s) ?
4) (facultative +1 point). Expliquer
pourquoi on peut calculer la moyenne des performances des cinq groupes réunis
et calculer cette moyenne globale.
5) (facultative +1 point). Peut-on
calculer la variance des performances des cinq groupes réunis ? Si oui
calculer cette variance globale sinon expliquer.
Travail Personnel N°5
Sauf exception ces exercices ne seront pas traités en séances normales de travaux dirigés.
EXERCICE I : (On reprend l’exercice I du TP2, du TP3 et du TP4
Lors d'une enquête sur la publicité télévisée on a demandé à chaque sujet d’évaluer, en minutes, le temps des coupures publicitaires pendant le film du dimanche soir sur deux chaînes.
Les résultats obtenus sont récapitulés dans le tableau suivant :
|
Sujets |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
chaîne 1 |
35 |
29 |
30 |
31 |
33 |
32 |
33 |
34 |
32 |
33 |
32 |
30 |
28 |
34 |
33 |
33 |
|
chaîne 2 |
35 |
36 |
34 |
34 |
36 |
37 |
33 |
35 |
35 |
35 |
35 |
33 |
36 |
37 |
34 |
35 |
On désigne par X la variable : temps de coupure sur la chaîne 1 et par Y la variable : temps de coupure sur la chaîne 2.
1) Calculer la variance et l’écart-type de X et de Y. Ce calcul est à faire en utilisant les fonctions statistiques
d’une calculatrice.
2) On considère le tri à plat
relatif à X. (voir exercice I TP2).
|
xi |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
|
|
ni |
1 |
1 |
2 |
1 |
3 |
5 |
2 |
1 |
16 |
|
fi |
0,0625 |
0,0625 |
0,125 |
0,0625 |
0,1875 |
0,3125 |
0,125 |
0,0625 |
|
a) Calculer la variance et
l’écart-type de X en utilisant les
deux premières lignes de ce tableau.
b)
Calculer la variance et l’écart-type de X
en utilisant la première et la troisième ligne de ce tableau.
3) Reprendre la question (2) pour la
variable Y.
EXERCICE II : (On reprend l’exercice II du TD 3, du TD 4 et du TD 5)
On fait passer à 100 sujets une épreuve notée sur une échelle continue de 0 à 20. On obtient la distribution suivante :
0 0,5 1 1 1,5 2 2 2 3 3 4 4 4 4 4 4 4
4 4 4 4 4 4 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 5 5 5 5
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5,5 5,5 6 6 6 6 6 6
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6,5 6,5 6,5
6,5 6,5 6,5 6,5 6,5 6,5 6,5 6,5 6,5 6,5 6,5 6,5 7 7 7 7 7
7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8,5 8,5 8,5 9 10
On désigne par X la variable : note obtenue à l’épreuve.
1) Calculer la variance et l’écart-type de X en utilisant une calculatrice !
2) On considère le tableau regroupant en 5 classes d’égales amplitudes les valeurs de X. (voir exercice II du TD 2).
Note |
[0 2] |
]2 4] |
]4 6] |
]6 8] |
]8 10] |
|
|
ni |
8 |
15 |
42 |
30 |
5 |
100 |
|
fi |
0,08 |
0,15 |
0,42 |
0,3 |
0,05 |
|
a)
Calculer la variance et l’écart-type de X.
b)
Comparer avec (1) et commenter.
EXERCICE III : (D’après examen septembre 99) (voir exercice III TD 5).
|
Groupes |
G1 |
G2 |
G3 |
G4 |
|
|
7 |
3 |
7 |
5 |
|
N |
5 |
7 |
7 |
4 |
|
o |
2 |
7 |
5 |
8 |
|
t |
2 |
1 |
5 |
4 |
|
e |
2 |
7 |
6 |
4 |
|
s |
8 |
|
6 |
|
|
|
2 |
|
6 |
|
Pour une étude de la transmission de la pensée un parapsychologue réalise l’expérience suivante : Il place deux personnes dans deux pièces séparées, l’une des deux personnes écrit une lettre (choisie parmi les 26 lettres de l’alphabet latin), la deuxième personne écrit alors une lettre (qui devra être la même si effectivement il y a transmission de la pensée et dans ce cas on dit qu’il y a réussite). Pour chaque couple il répète l’expérience dix fois, et il note le nombre de réussites. Il teste 24 couples classés en quatre groupes :
G1 : Le groupe des couples
homme-homme
G2 : Le groupe des couples homme-femme
G3 : Le groupe des couples femme-homme
G4 : Le groupe des couples femme-femme
Il obtient les résultats ci-contre :
1) Calculer la variance et
l’écart-type des notes par groupe.
2) Calculer la variance inter et la
variance intra. En déduire la la variance globale.
3) Calculer directement la variance
globale et comparer.
EXERCICE IV :
Quelle n’a pas été la surprise de cette institutrice
qui retrouva 4 ans plus tard exactement les mêmes élèves qu’elle avaient au CP!
Mais sa surprise fût encore plus grande quand elle remarqua qu’ils ont tous
grandi en doublant de taille!(Est-ce bien réaliste ?). Le soir ce sujet ne
manqua pas de revenir dans la discussion, et voilà que sa fille (étudiante
brillante en DEUG) lui rétorqua : « mais maman c’est super! Comme ça je
n’aurai pas à recalculer la moyenne et la variance des âges et des tailles
cette année puisqu’on a celles de l’année du CP »
Comment va-t-elle s’y prendre ?
EXERCICE II : (On reprend l’exercice II du TD3,du TD4 et du TD5)
Le tableau suivant fournit la mesure, en dixième de mm, de la finesse de discrimination sensorielle de 105 sujets. (On pose sur la peau du sujet les deux pointes d’un compas plus ou moins rapprochés et on mesure la distance minimale perçue par le sujet).
|
Finesse |
ni |
Finesse |
ni |
Finesse |
ni |
Finesse |
ni |
Finesse |
ni |
|
0,1 |
1 |
3,0 |
1 |
5,6 |
2 |
8,6 |
3 |
13,5 |
1 |
|
0,2 |
2 |
3,6 |
1 |
5,7 |
2 |
8,7 |
1 |
14,0 |
1 |
|
0,4 |
2 |
3,7 |
1 |
5,8 |
2 |
8,8 |
3 |
14,2 |
1 |
|
0,6 |
3 |
3,9 |
1 |
5,9 |
1 |
9,5 |
1 |
15,9 |
1 |
|
0,7 |
1 |
4,0 |
1 |
6,3 |
1 |
10,0 |
1 |
16,2 |
1 |
|
0,8 |
1 |
4,1 |
1 |
6,4 |
1 |
10,1 |
3 |
18,0 |
2 |
|
1,3 |
2 |
4,2 |
1 |
6,6 |
1 |
10,3 |
1 |
18,3 |
1 |
|
1,5 |
3 |
4,3 |
3 |
6,7 |
2 |
10,6 |
1 |
18,6 |
1 |
|
1,7 |
1 |
4,4 |
1 |
6,8 |
1 |
10,9 |
1 |
1 |
|
|
1,8 |
1 |
4,6 |
2 |
7,1 |
3 |
11,5 |
1 |
19,8 |
1 |
|
1,9 |
1 |
4,7 |
3 |
7,7 |
1 |
11,6 |
1 |
20,0 |
1 |
|
2,4 |
1 |
5,0 |
1 |
8,0 |
2 |
11,9 |
1 |
21,0 |
1 |
|
2,5 |
1 |
5,2 |
1 |
8,2 |
2 |
12,4 |
1 |
35,0 |
1 |
|
2,6 |
2 |
5,3 |
1 |
8,3 |
1 |
12,8 |
1 |
49,9 |
1 |
|
2,7 |
1 |
5,4 |
1 |
8,5 |
2 |
13,1 |
2 |
67,8 |
1 |
1) Si ça vous amuse calculer la variance et l’écart-type de la finesse de discrimination sensorielle des 105 sujets en utilisant les fonctions statistiques d’une calculatrice ?
|
Finesse |
[0,1 9,8] |
]9,8 19,5] |
]19,5 29,2] |
]29,2 38,9] |
]38,9 48,6] |
]48,6 58,3] |
]58,3 68] |
|
|
ni |
75 |
24 |
3 |
1 |
0 |
1 |
1 |
105 |
|
Ni |
75 |
99 |
102 |
103 |
103 |
104 |
105 |
|
2) On considère le découpage en 7 classes de même intervalle. (Voir exercice II du TP2).
a)
Calculer à partir de ce tableau la variance et l’écart-type de X. Comparer et commenter.