Aide L-Système

1 Grammaire

Un L-Système (Système de Lindenmayer)  est décrit par la grammaire :

  <LSystème>-> <identificateur> '{'
          'Angle' <réel>
          'Axiome' <liste de symboles> 
          <liste de règles>
   '}'
  <liste de symboles> ->   | <symbole> <liste de symboles>
  <liste de règles> ->   | <règle> <liste de règles>
  <règle> -> <symbole> '=' <liste de symboles>
  <symbole> -> <symbole prédéfini>  | <caractère>
  <symbole prédéfini>  -> '[' <liste de symboles> ']' |
          'F'  | 'G' | '+' | '-' |
          '!' |'|'| '@i'<réel> | '@'<réel>

2 Exemple de L-Système : Hilbert

  Hilbert{
      Angle 90.
      Axiome X
      X=-YF+XFX+FY-
      Y=+XF-YFY-FX+
  }

3 Interprétation

Les règles sont des règles de réécriture. Un système de Lindenmayer fait des dérivations jusqu’à un certain rang n à partir de l'axiome. Une ré-écriture consiste à remplacer tout symbole de la chaîne à ré-écrire par

• la partie droite de la règle dont il est partie gauche, si elle existe.
• lui-même s'il ne se trouve pas en partie gauche de règle.

Une chaîne obtenue par dérivation peut être interprétée pour tracer un dessin avec la plume. Les symboles prédéfinis sont interprétés pour tracer un courbe, les autre symboles sont ignorés :

• 'F'      la plume baissée avance d'une distance d
• 'G'       la plume baissée recule d'une distance d
• '+'       la plume tourne à gauche de l'angle 360/a, a est la valeur qui suit 'Angle' dans la définition du système.
• '-'       la plume tourne à gauche de l'angle 360/a
• '['       on empile l'état de la plume
• '['       on dépile l'état de la plume
• '!'       on échange le rôle de + et -
• '|'      la plume fait demi-tour
• '@i'x   la distance d est divisée par x
• '@'x    la distance d est multipliée par x

4 Quelques exemples :

Cesaro { 
Angle 10.5 
 Axiome  FX
  F= 
  X=++++F!X!--------F!X!++++
}

CesaroCarre { 
Angle 5.
  Axiome  F------------------F---------
          ---------F------------------F
  F=F-----------------F++++++++++++++++
    ++++++++++++++++++F-----------------F
}

Hilbert { 
 Angle 90. 
 Axiome  A
  A=+BF-AFA-FB+
  B=-AF+BFB+FA-
}

Border {
  Angle 90.
  Axiome XYXYXYX+XYXYXYX+XYXYXYX+XYXYXYX
  F=
  X=FX+FX+FXFY-FY-
  Y=+FX+FXFY-FY-FY
}

DragonCurd { 
    Angle 90.0
    Axiome su
    F=
    s=Fs+F-x
    t=++F--u+F-x
    u=++F--u-F+z
    v=Fs-F+z
    w=Fw+F-t
    x=++F--y+F-t
    y=++F--y-F+v
    z=Fw-F+v
}

Peano {
  Angle 90.
  Axiome F-F-F-F
  F=F-F+F+F+F-F-F-F+F
}

Hiwaymed   { 
     Angle   45.  
     Axiome   -X   
     X=X+F+Y  
     Y=X-F-Y
}

Penrose  { 
     Angle 18. 
     Axiome  F----F----F----F----F
     F=F----F----F----------F++F----F
}

Sierpinski {
     Angle 45.
     Axiome L--F--L--F
     L=+R-F-R+
     R=-L+F+L-
}

VonKoch {  
      Angle 60.
      Axiome F++F++F
      F=F-F++F-F
}

SierpinskiTriangle{
    Angle 120.
    Axiome F
    F=F+F-F-F+F
}

Plant4{  
   Angle 20.  
   Axiome X   X=F[+X]F[-X]+X  
   F=FF
}

5 Quelques références au L-Système :

1. Wikipédia
2. Un extrait de "The Algorithmic Beauty of Plants" de Przemyslaw Prusinkiewicz et Aristid LindenMayer.
3. et d'autres exemples.

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