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Travaux Dirigés N°3
Analyse du plan S<A×B>
El Methni M.
EXERCICE I :
On dispose des mesures indépendantes d’un phénomène aléatoire dont la moyenne risque d’être influencée d’une part par deux facteurs A et B mais aussi d’autre part par l’interaction de ces deux facteurs.
On considère le modèle suivant : Ys(i,j) = μij + ε s(i,j) où μij = μ + αi + βj + (αβ)ij
avec les contraintes d’identification :
|
|
b1 |
b2 |
b3 |
|
a1 |
μ11 |
μ12 |
μ13 |
|
a2 |
μ21 |
μ22 |
μ23 |
Dans toute la suite on considère un facteur A à deux modalités a1 et a2 et un facteur B à trois modalités b1, b2 et b3. On se donne le tableau des moyennes μij associées à chaque croisement.
Dans chacun des cas suivants, écrire le modèle et tracer une représentation graphique.
|
|
b1 |
b2 |
b3 |
|
a1 |
17 |
23 |
29 |
|
a2 |
|
|
|
1) Il n’y a pas d’effet
principal ni de A ni de B et il n’y a pas d’effet d’interaction.
2) Il y a un effet principal de B
mais pas de A et il n’y a pas d’effet d’interaction.
3) Dans toute la suite on suppose
connaître μ11, μ12 et μ13. Compléter la dernière ligne du
tableau ci-contre et tracer une représentation graphique dans les cas
suivants :
a) Il y a un effet principal
de B mais pas de A et il n’y a pas d’effet d’interaction.
b)
Il y a un effet principal de A, un effet principal de B et il n’y a pas d’effet
d’interaction.
c)
Il n’y a pas d’effet principal ni de A ni de B et il y a un effet
d’interaction.
d)
Il y a un effet principal de B et un effet d’interaction mais pas d’effet
principal de A.
EXERCICE II :
Dans la construction d'un test projectif, 40 planches représentant des visages humains sont utilisées. Sur chaque planche, le sexe d'au moins un des visages est seulement vaguement suggéré. Pour étudier l'influence de l'introduction d'indices supplémentaires, les planches sont retouchées de façon à ce que les visages ressemblent davantage soit à un visage de femme, soit à un visage d'homme. Les 40 planches sont administrées à un groupe de 18 garçons et à un groupe de 18 filles. Six membres de chaque groupe voient les planches avec des indices féminins, six voient les planches avec les indices masculins et six voient les planches originales. Pour chaque sujet on note le nombre de planches pour lesquelles le visage indistinct est interprété comme celui d'une femme.
|
|
indices féminins |
indices masculins |
pas d'indice |
|||
|
|
29 |
36 |
14 |
5 |
23 |
26 |
|
filles |
35 |
33 |
8 |
7 |
21 |
30 |
|
|
27 |
38 |
10 |
16 |
24 |
32 |
|
|
24 |
35 |
3 |
5 |
19 |
7 |
|
garçons |
30 |
32 |
8 |
10 |
16 |
11 |
|
|
26 |
33 |
4 |
6 |
9 |
10 |
Tableau des données
1) Donner la formule du plan.
Quelle est la nature de chaque facteur introduit dans votre formule de plan ?
2) Faire le graphe d'interaction.
Que constatez-vous pour chaque type d'effets ?
3) Calculer : SCA, SCB, SC(A×B)
et SCT
4) Construire la table d'analyse de
la variance et faire les tests d'hypothèses d'existence des différents effets
en explicitant tous vos calculs numériques.
Résultats numériques partiels : La somme des carrés totale SCT est égale à 4479.
EXERCICE III :
Selon une étude portant sur une population d’enfants, la durée de sommeil est plus élevée chez les garçons que chez les filles. Par ailleurs, selon cette même étude, le fait de jouer à des jeux électroniques contribue à augmenter la durée de sommeil. Enfin la durée de sommeil est plus élevée chez les garçons qui jouent à des jeux électroniques que chez les garçons qui ne jouent pas.
Compléter le graphique et le tableau suivants :
|
|
|
|
filles |
garçons |
|
joueur |
|
|
|
non joueur |
|
|
EXERCICE IV :
Pour étudier le degré de motivation d’un sujet, un expérimentateur construit l’expérience suivante : il choisit des collégiens. Chaque collégien participe à un jeu comportant une épreuve physique et reçoit un score qui mesure sa performance. En fait, le jeu est entièrement contrôlé par l’expérimentateur, ainsi chaque sujet reçoit le même score. Après un nombre fixé d’essais pour lequel le sujet reçoit le score préfixé, l’expérimentateur demande au sujet de prédire le score qu’il aura au prochain essai. Avant de faire sa prédiction, le sujet reçoit deux types d’informations :
· L’expérimentateur lui signale que son score est supérieur, égal ou inférieur au score moyen d’un groupe de comparaison.
·
L’expérimentateur lui signale soit que le groupe de
comparaison est formé de collégiens soit d’athlètes professionnels.
Le score prédit par chaque sujet est donné dans le tableau suivant :
|
Groupe de collégiens |
Groupe d’athlètes professionnels |
||||
|
supérieur |
égal |
inférieur |
supérieur |
égal |
inférieur |
|
52 |
28 |
16 |
38 |
44 |
24 |
|
48 |
35 |
15 |
35 |
35 |
26 |
|
43 |
34 |
23 |
33 |
43 |
19 |
|
50 |
27 |
22 |
39 |
42 |
27 |
|
43 |
28 |
17 |
34 |
38 |
20 |
|
44 |
30 |
18 |
36 |
41 |
23 |
On donne : Moyenne générale = 32,5 SCT
= 3703
1) Donner la formule du plan
d’expérience
2) Construire la table d’analyse de
la variance et tester les différents effets des facteurs.
EXERCICE V :
Chacun des quatre tableaux ci-contre donne les moyennes, selon un plan factoriel complet, observées dans une certaine population.
|
|
b1 |
b2 |
b3 |
b4 |
|
|
b1 |
b2 |
b3 |
b4 |
|
a1 |
10 |
14 |
12 |
16 |
|
a1 |
10 |
12 |
14 |
16 |
|
a2 |
7 |
11 |
9 |
13 |
|
a2 |
14 |
12 |
10 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b1 |
b2 |
b3 |
b4 |
|
|
b1 |
b2 |
b3 |
b4 |
|
a1 |
10 |
12 |
14 |
16 |
|
a1 |
12 |
12 |
8 |
12 |
|
a2 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
a2 |
8 |
8 |
12 |
8 |
Donner, dans chacun de ces quatre cas, une représentation graphique et une « interprétation » en termes d’effets (principaux et d’interaction).
EXERCICE VI :
Dans le cadre d’une étude sur la dépression, on a
administré 4 traitements (T1, T2, T3, T4)
à 3 groupes d’âges différents (A1, A2, A3).
Les 40 sujets de chaque groupe d’âge ont été affectés de façon aléatoire à
raison de 10 sujets par traitement.
On dispose d’une évaluation par un test de dépression pour chaque sujet.
Le tableau suivant donne, pour chaque condition expérimentale, la somme des
observations ∑y et la somme de leurs carrés ∑y2.
|
|
A1 |
A2 |
A3 |
|||||||||
|
|
T1 |
T2 |
T3 |
T4 |
T1 |
T2 |
T3 |
T4 |
T1 |
T2 |
T3 |
T4 |
|
∑y |
50 |
73 |
21 |
25 |
90 |
73 |
43 |
83 |
72 |
75 |
10 |
20 |
|
∑y2 |
298 |
585 |
85 |
109 |
858 |
577 |
237 |
741 |
578 |
609 |
39 |
88 |
1) Quels sont les facteurs mis
en jeu? Quelles sont leurs modalités? Quelle est la variable dépendante? Donner
la formule du plan.
2) Tracer un graphe d’interaction
3) Construire la table d’analyse de
la variance
4) Tester l’effet des différents
facteurs en précisant de façon explicite les hypothèses et les conclusions des
différents tests.
EXERCICE VII :
|
C1 |
C2 |
C3 |
C4 |
|
10 |
14 |
16 |
12 |
|
9 |
15 |
13 |
12 |
|
7 |
13 |
13 |
16 |
|
11 |
13 |
12 |
15 |
|
13 |
20 |
11 |
15 |
Un expérimentateur veut étudier l’effet de
différentes conditions sur l’aptitude à résoudre des problèmes. La mesure de la
capacité à résoudre des problèmes est le temps moyen mis pour accomplir une
série de tâches.
5 sujets sont soumis à 4 conditions C1, C2, C3
et C4 définies par :
C1 : le sujet n’est
pas averti qu’il sera pénalisé selon le temps utilisé et les problèmes ont trait au
langage
C2 : le sujet est
averti qu’il sera pénalisé selon le temps utilisé et les
problèmes ont trait au langage
C3 : le sujet n’est
pas averti qu’il sera pénalisé selon le temps utilisé et les problèmes sont des
manipulations de formes géométriques
C4 : le sujet est
averti qu’il sera pénalisé selon le temps utilisé et les problèmes sont des manipulations de formes géométriques
1) Quels sont les facteurs mis en
jeu? Quelles sont leurs modalités? Quelle est la variable dépendante? Donner la
formule du plan.
2) Tracer le graphe d’interaction.
Quels effets constatez-vous?
3) Construire la table d’analyse de
la variance et faire les tests d’hypothèses d’existence des différents effets
en précisant de façon explicite les hypothèses et les conclusions des
différents tests.
EXERCICE VIII :
Un chercheur émet l’hypothèse que la tension musculaire induite chez un sujet lors d’une tâche d’écriture dépend du type de tâche. Pour mettre à l’épreuve cette hypothèse, le chercheur construit l’expérience suivante :
Le sujet tient dans sa main habituelle un crayon, tandis qu’avec l’autre main, il tient une poire en caoutchouc reliée à une jauge qui mesure la pression exercée par la main sur la poire. Le sujet doit effectuer trois tâches différentes suivantes: écrire la solution de problèmes d’arithmétique, écrire un court texte d’imagination, dessiner soigneusement une ligne. Chaque tâche est effectuée deux fois. On relève au cours de chaque épreuve la pression moyenne exercée sur la jauge. Six sujets participent à l’expérience. Les résultats sont donnés dans le tableau suivant :
|
|
tâche 1 |
tâche 2 |
tâche 3 |
moyenne |
|||
|
|
essai 1 |
essai 2 |
essai 1 |
essai 2 |
essai 1 |
essai 2 |
|
|
sujet 1 |
7.8 |
8.7 |
11.1 |
12.0 |
11.6 |
10.0 |
10.2 |
|
sujet 2 |
8.0 |
9.2 |
11.2 |
10.6 |
10.0 |
12.2 |
10.2 |
|
sujet 3 |
4.0 |
6.9 |
9.8 |
10.1 |
11.7 |
12.7 |
9.2 |
|
sujet 4 |
10.6 |
9.4 |
11.4 |
10.5 |
8.2 |
8.1 |
9.7 |
|
sujet 5 |
9.3 |
10.6 |
13.3 |
11.7 |
8.4 |
7.9 |
10.2 |
|
sujet 6 |
9.5 |
9.8 |
12.2 |
12.3 |
8.9 |
10.3 |
10.5 |
|
moyenne |
8,2 |
9,1 |
11,5 |
11,2 |
9,8 |
10,2 |
10 |
1) Quels sont les facteurs mis en jeu ? Quelles sont leurs modalités ? Quelle est la variable dépendante ? Examiner les relations entre les facteurs et en déduire la formule du plan.
2) Établir la table d’analyse de la variance et construire un test permettant de tester l’hypothèse du chercheur.
Résultats numériques partiels : SCT = 124,52.
Tableau des moyennes :
|
Sujets |
Tache 1 |
Tache 2 |
Tache 3 |
|
Sujets |
Essai 1 |
Essai 2 |
|
1 |
8,25 |
11,55 |
10,80 |
|
1 |
10,17 |
10,23 |
|
2 |
8,60 |
10,90 |
11,10 |
|
2 |
9,73 |
10,67 |
|
3 |
5,45 |
9,95 |
12,20 |
|
3 |
8,50 |
9,90 |
|
4 |
10,00 |
10,95 |
8,15 |
|
4 |
10,07 |
9,33 |
|
5 |
9,95 |
12,50 |
8,15 |
|
5 |
10,33 |
10,07 |
|
6 |
9,65 |
12,25 |
9,60 |
|
6 |
10,20 |
10,80 |
EXERCICE IX:
Dans une expérience on présente à chaque sujet soit oralement soit par écrit un mot
qui est soit un mot famillier soit un mot non
famillier. Après une période d’attente on intérroge le sujet et on calcule le nombre de syllabes non
significatives mémorisées. L’expérience est réalisée sur 24 sujets répartis en
quatre groupes de six et on obtient les résultats suivants :
O(ral) : F(amillier) : 19 16 18 23 14 16
N(on famillier) : 15 13 7 9 8 11
E(crit) : F(amillier) : 10 12 18 16 17 14
N(on famillier) : 9 16 14 11 12 8
1) Tester l’hypothèse selon laquelle
le mode de présentation (oral, écrit) n’a pas d’effet sur la mémorisation
2) Tester l’hypothèse selon laquelle
la nature des mots présentés (famillier, non famillier) n’a pas d’effet sur la
mémorisation
3) Tester l’hypothèse selon laquelle
il n’y a pas d’effet d’interaction sur la mémorisation
EXERCICE X :
On veut comparer les effets biologiques de deux
goudrons de cigarettes (cigarettes normales cigarettes traitées) en
badigeonnant sur la peau de souris. Le test est fondé sur la dimunition du
nombre de glandes sébacées, le critère d’appréciation étant le nombre Y de glandes restantes pour une surface donnée d’examen.
On a utilisé les deux produits avec trois méthodes différentes de badigeonnage
chaque fois sur 20 souris. Les résultats figurent dans le tableau suivant.
|
|
Méthode 1 |
Méthode 2 |
Méthode 3 |
Total |
|
Goudron cigarettes normales |
|
|
|
|
|
Moyenne |
43,4 |
30,1 |
12,5 |
28,667 |
|
Variance |
139,94 |
166,64 |
533,35 |
|
|
Goudron cigarettes traitées |
|
|
|
|
|
Moyenne |
41,65 |
36,55 |
19,05 |
32,417 |
|
Variance |
79,8775 |
86,8475 |
118,8975 |
|
|
Total Moyenne |
42,525 |
333,325 |
15,775 |
30,5417 |
1) Donner la formule du plan
d’expérience
2) Tracer et commenter le
graphe d’interaction
3) Construire la table d’analyse de
la variance et tester les différents effets des facteurs.