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EXERCICE I :

Dans R muni d’une base orthonormée, on considère les vecteurs a=(4,3) et b=(5,11).
1) Calculer ||a|| et ||b|| pour les trois normes usuelles et interpréter graphiquement.
2) Calculer ||a+b|| et ||a||+||b|| pour les trois normes usuelles et interpréter graphiquement.
3) Calculer d(a,b) pour les trois normes usuelles et interpréter graphiquement.

EXERCICE II :

Dans R muni d’une base orthonormée, on considère les vecteurs a=(4,3) et b=(5,11).
Représenter graphiquement les ensembles suivants :
a) B(a,2) pour les trois distances usuelles              b) {(x+y<2)  (x≥0)  (y≥0)}
c) {uR  tel que u=(1-λ)a+λb  où  λ[0   1]}       d) {(x,y)  tel que  x-y≥0}

 

EXERCICE III :

1) Soit (E,d) un espace métrique. Montrer que pour tout x, y, x’ et y’ on a :
|d(x,y) - d(x’,y’)| ≤ d(x,x’) + d(y,y’)
En déduire que |d(x,y) - d(y,z)| ≤ d(x,z)
2) Dans Rⁿ muni des normes usuelles montrer que : | ||x|| - ||y|| | ≤ ||x  y|| pour tout x et y de Rⁿ.

 

 

EXERCICE IV :

Dans R, muni d’une base orthonormée, à tout point A(x,y) on associe deux réel r et θ définie par : x=rcosθ et y=rsinθ où r≥0 et θ est un angle orienté à 2kπ près. r et θ sont les coordonnées polaires de A.

1) Exprimer r et θ en fonction de x et y.

2) Montrer que :

     a) (x,y) → (0,0)  r → 0. La réciproque est-elle vraie ?

     b) (x,y) → (±∞,±∞)  r → ∞. La réciproque est-elle vraie ?
3) Exprimer  en fonction de r et θ
4) Montrer que  ne dépend pas de r

EXERCICE V :

Dans R³, muni d’une base orthonormée, à tout point A(x,y,z) on associe ses coordonnées sphériques r, θ et .
1) Exprimer x, y et z en fonction de r, θ et .
2) Exprimer r, θ et  en fonction de x, y et z.