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0. Généralités
0-1. Faire des mathématiques (de la mathématique)
Les objets mathématiques :
Ce sont (souvent) des modèles abstraits d'objets naturels (physiques) plus ou moins complexes. Ils sont souvent définis (définition).
Relations concernant les
objets mathématiques :
Ce sont des assertions (vraies ou fausses) concernant les objets mathématiques. Elles correspondent (souvent) à des propriétés hypothétiques des objets naturels dont les objets mathématiques sont les modèles.
Axiomes :
Certaines assertions traduisent des propriétés supposées "évidentes" des objets concrets. Ce sont les axiomes. On admet une fois pour toute qu'ils sont vrais.
Théorème :
Un énoncé important qui a été prouvé (démontré). Il est destiné à être connu et invoqué en tant que tel et servira de jalon dans une théorie.
Proposition :
Un énoncé significatif qui a été prouvé (démontré) rarement invoqué en tant que tel mais permettant de démontrer plusieurs théorèmes.
Lemme :
Un énoncé établi en préalable à la démonstration d'une proposition ou d'un théorème et qui ne servira probablement pas en dehors de celle-ci.
Corollaire (d'un théorème):
Un énoncé qui se déduit immédiatement d'un théorème.
Remarque, Scholie (ou
scolie) :
Simple note ou reformulation issue d'une proposition ou d'un théorème.
Conjecture :
Enoncé non démontré mais vraisemblablement vrai en attente de preuve ou de contre preuve (contre exemple).
0-2. Désignation
Signifiant et signifié :
Il ne faut pas confondre l'objet (mathématique ou autre) désigné (signifié) et le signe (signifiant) (image, son, symbole, graphisme …) utilisé pour le désigner.
Le passage du signifiant au signifié suppose toujours une démarche de décodage (un algorithme!).
Dans un langage courant, à un signifiant ne correspond pas en général un seul objet, alors qu'en mathématiques (comme dans tout langage scientifique) à un signifiant donné ne correspond qu'un seul signifié (Homonymie interdite).
Par contre la pluralité des signifiants pour désigner un même objet mathématique (synonymie) est très fréquente.
Portée d'un signifiant :
Il est impossible, par manque de signes, de respecter scrupuleusement la règle selon laquelle à un signifiant donné ne doit correspondre qu'un seul signifié. On résout cette difficulté par la notion de contexte qui confère à chaque signifiant une portée donnée.
0-3. Egalité
Ecrire "a=b" c'est dire que l'objet représenté (désigné) par a est le même que celui représenté (désigné) par b.
Autrement dit l'égalité est une façon de se repérer dans l'univers des signifiants.
Propriétés élémentaires de
l'égalité :
a=a réflexivité
si a=b alors b=a symétrie
si a=b et b=c alors a=c transitivité