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VII. Systèmes linéaires

 

VII-1. Systèmes linéaires quelconques

 

Définition 1 : On appelle système linéaire (ζ) la donnée de n équations linéaires :
                  
où x₁, x₂, … x_p sont les p inconnues du système, k₁, k₂, … k_n sont les n termes du second membre ou constantes et les a_ij sont les n×p coefficients du système.

Remarque 1 (fondamentale): Tout système linéaire peut s’écrire sous la forme d’une équation matricielle
AX = K  où A = (a_ij) est la matrice des coefficients.
X = ^t(x₁ x₂ … x_p)R_c^p est la matrice colonne des inconnues et K=^t(k₁, k₂, … k_n)R_cⁿ est la matrice colonne des constantes. La matrice (AK) est la matrice augmentée du système.

 

Définition 2 : Lorsque K=0 le système est dit homogène (AX=0)

 

Définition 3 : Une solution d’un système linéaire (ζ) : AX=K est la donnée de p nombres
s₁, s₂ …, s_p tels que, substitués aux x₁, x₂, …, x_p , les n équations linéaires sont simultanément vérifiées.
Trouver une solution d’un système linéaire  c’est donc trouver une matrice colonne
S = ^t(s₁ s₂ … s_p)R_c^p elle que AS=K .
Résoudre un système linéaire (ζ) : AX=K c’est trouver l’ensemble des solutions du système. On note S_(ζ) cet ensemble de solutions. S_(ζ)={SR_c^p  tq  AS=K}

 

Remarque 2 : Résoudre un système linéaire (ζ) : AX = K c’est trouver toutes les écritures de K comme combinaisons linéaires des colonnes de A, les coefficients des combinaisons linéaires étant les s_i.

 

Remarque 3 : Tout système homogène admet S = 0 comme solution particulière. On l’appelle solution triviale.

 

Définition 4 : Un système linéaire est dit incompatible ou contradictoire (ou encore inconsistant) s’il n’admet aucune solution. Le système est dit compatible s’il admet au moins une solution.

 

Remarque 4 : Le système est compatible si et seulement si K appartient à l’ensemble engendré par les colonnes de A. On appelle espace colonne cet ensemble.

 

Définition 5 : Deux systèmes linéaires (ζ₁) : AX = K et (ζ₂) : BX = H sont équivalents s’ils ont le même ensemble de solutions. S_(ζ1) = S_(ζ2)

 

Remarque 5 : La relation donnée par la définition précédente est une relation d’équivalence.

 

Proposition 1 : Soit (ζ₁) : AX = K un système linéaire et (AK)  sa matrice augmentée. Si  alors les deux systèmes linéaires (ζ₁) : AX = K et (ζ₂) : BX = H sont équivalents.

 

En pratique: Pour résoudre un système linéaire (ζ₁) : AX = K on le transforme en un système plus simple
(ζ₂) : RX = H  par action d’opérations élémentaires de lignes portant sur la matrice augmentée (AK) jusqu’à obtention de sa l.r.e (RH). Rappelons que dans ce cas R est la l.r.e de A.

 

Définition 6 : Soit un système linéaire (ζ) : AX=K et R la l.r.e de A. Si on note j₁, j₂, …, j_r les  indices des colonnes pivots de R alors les inconnues  x _j1, x _j2, …, x _jr sont appelées inconnues pivots. Les autres inconnues sont appelées inconnues libres.

 

 

Remarque 5 : Dans le dernier cas du théorème précédent (rang(RH) = r< p) chacune des inconnues pivots s’écrit comme la somme d’une combinaison linéaire des inconnues libres et d’un terme constant h_i. On obtient l’infinité des solutions en donnant des valeurs arbitraires aux inconnues libres.

VII-2. Systèmes linéaires homogènes

 

Définition 7 : L’ensemble solution d’un système linéaire homogène (ζ) : AX = 0 est appelé noyau de la matrice A. On le note Ker(A).

 

Proposition 2 : Soit un système linéaire homogène (ζ) : AX=0 alors :

·     (a) 0Ker(A)

·     (b) si S₁Ker(A) et S₂Ker(A) alors S₁+S₂Ker(A)

·     (c) si SKer(A) et λR alors  λSKer(A)

 

Corollaire 1 : Toute combinaison linéaire de solutions d’un système linéaire homogène est aussi solution du système

 

Corollaire 2 : Etant donné un système linéaire homogène (ζ) : AX = 0 avec A de format n×p. Si rang(A)<p (en particulier si n<p) alors le système admet une infinité de solutions (en plus de la solution triviale)

 

Définition 8 : Soit (ζ) : AX=0 un système linéaire homogène et soit R=(r_ij) la l.r.e de A admettant r colonnes pivots d’indices j₁, j₂, …, j_r.  Le système (ζ) admet donc r inconnues pivots x_j1, x_j2, …, x_jr et p - r inconnues libres x_l(1), x_l(2), … x_l(p-r) (on se place dans le cas général rang(A) = r < p ). La solution générale S du système (ζ) est une matrice colonne dont les coefficients sont des combinaisons linéaires des p - r inconnues libres
x_l(1), x_l(2), …, x_l(p-r) . On définit les solution canoniques S₁, S₂, … S_p-r par :
S_α s’obtient à partir de S  en remplaçant x_l(α)  par 1et les autres x_l(α‘)  par 0 (α≠α’).

 

Corollaire 3 : Etant donné un système linéaire homogène (ζ) : AX = 0 avec A de format n×p. Si rang(A) < p (en particulier si n < p) alors toute solution de (ζ) est une combinaison linéaire des solutions canoniques.

 

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